Trước tiên ta sẽ chứng minh \(\sqrt{2}\)là số vô tỉ. 

Giả sử \(\sqrt{2}\)là số hữu tỉ. 

Khi đó \(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\left(m,n\inℤ,\left(m,n\right)=1\right)\)

\(\Leftrightarrow m^2=2n^2\)

Suy ra \(m^2⋮2\Rightarrow m⋮2\Rightarrow m=2k\)

\(4k^2=2n^2\Leftrightarrow n^2=2k^2\)từ đây cũng suy ra \(n⋮2\)

Khi đó \(m,n\)cùng chia hết cho \(2\)(mâu thuẫn với \(\left(m,n\right)=1\))

Do đó ta có đpcm: \(\sqrt{2}\)là số vô tỉ. 

Giả sử \(\sqrt{1+\sqrt{2}}\)là số hữu tỉ. 

Khi đó \(\sqrt{1+\sqrt{2}}=\frac{a}{b},\left(a,b\inℤ\right)\)

\(\Leftrightarrow1+\sqrt{2}=\frac{a^2}{b^2}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2}=\frac{a^2}{b^2}-1\)là số hữu tỉ. 

Mà \(\sqrt{2}\)là số vô tỉ do đó mâu thuẫn nên ta có đpcm. 

bài này chỉ cần cm căn 2 là số vô tỉ => đpcm

6, \(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}-\frac{x+5}{x-\sqrt{x}-2}\)ĐK : \(x\ge0;x\ne4\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)-\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}+1\right)-x-5}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(=\frac{x-3\sqrt{x}+2-x-4\sqrt{x}-3-x-5}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}=\frac{-x-7\sqrt{x}-6}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(=\frac{-\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+6\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}=\frac{-\sqrt{x}-6}{\sqrt{x}-2}\)

7, \(\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-3}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}-\frac{3\sqrt{x}-3}{x-5\sqrt{x}+6}\)ĐK : \(x\ge0;x\ne4;9\)

\(=\frac{x-4-\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)-3\sqrt{x}+3}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(=\frac{x-4-x+2\sqrt{x}+3-3\sqrt{x}+3}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}=\frac{-\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}=\frac{1}{\sqrt{x}-3}\)

9, \(\frac{3\sqrt{x}+2}{2\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+4}-\frac{x-6\sqrt{x}+5}{2x-7\sqrt{x}-4}\)ĐK : \(x\ge0;x\ne\frac{1}{4}\)

\(=\frac{\left(3\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}+4\right)+\left(\sqrt{x}-1\right)\left(2\sqrt{x}-1\right)-x+6\sqrt{x}-5}{\left(2\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+4\right)}\)

\(=\frac{3x+14\sqrt{x}+8+2x-3\sqrt{x}+1-x+6\sqrt{x}-5}{\left(2\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+4\right)}\)

\(=\frac{4x+17\sqrt{x}+4}{\left(2\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+4\right)}=\frac{\left(\sqrt{x}+4\right)\left(4\sqrt{x}+1\right)}{\left(2\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+4\right)}=\frac{4\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}-1}\)

8, bạn tự làm nhé 

đk: \(\hept{\begin{cases}x\ge0\\x\ne4\end{cases}}\)

\(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}-\frac{x+5}{x-\sqrt{x}-2}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)-\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}+1\right)-x-5}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(=\frac{x-3\sqrt{x}+2-x-4\sqrt{x}-3-x-5}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(=\frac{-x-7\sqrt{x}-6}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+6\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(2-\sqrt{x}\right)}=\frac{\sqrt{x}+6}{2-\sqrt{x}}\)

đk: \(\hept{\begin{cases}x\ge0\\x\ne1\end{cases}}\)

Phân thức 1 sai mẫu mình sửa lại nhé

\(\frac{15\sqrt{x}-11}{x+2\sqrt{x}-3}-\frac{3\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1}-\frac{2\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+3}\)

\(=\frac{15\sqrt{x}-11-\left(3\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+3\right)-\left(2\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)

\(=\frac{15\sqrt{x}-11-3x-7\sqrt{x}+6-2x-\sqrt{x}+3}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)

\(=\frac{-5x+7\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)

\(=\frac{\left(1-\sqrt{x}\right)\left(5\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}=\frac{2-5\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}\)

Vì a² - b = b² - c = c² - a

Ta có a² - b = b² - c

=> (a - b)(a + b) = b - c

=> a + b + 1 = \(\frac{a-c}{a-b}\)

Tương tự ta có : b + c + 1 = \(\frac{b-a}{b-c}\)

a + c + 1 =\(\frac{b-c}{a-c}\)

Khi đó (a + b + 1)(b + c + 1)(a + c + 1) = \(\frac{a-c}{a-b}.\frac{b-a}{b-c}.\frac{b-c}{a-c}=-1\)(đpcm) 

a/

BC cố định => B cố định

AB=4 cm không đổi

=> A chạy trên đường tròn tâm B bán kính AB

b/

Từ M dựng đường thẳng // AB cắt BC tại D

=> D là trung điểm của BC (Trong tg đường thẳng đi qua trung điểm của 1 cạnh và // với cạnh thứ 2 thì đi qua trung điểm cạnh còn lại)

=> MD là đường trung bình của tg ABC => \(MD=\frac{AB}{2}\)

Ta có BC cố định =>D cố định

MD không đổi

=> M chạy trên đường tròn tâm D bán kính MD

Ta có: \(a^2-b=b^2-c\Leftrightarrow a^2-b^2=b-c\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)=b-c\Rightarrow a+b=\frac{b-c}{a-b}\)

Tương tự CM được: \(b+c=\frac{c-a}{b-c}\) và \(c+a=\frac{a-b}{c-a}\)

Khi đó:

\(\left(a+b+1\right)\left(b+c+1\right)\left(c+a+1\right)\)

\(=\left(\frac{a-b}{c-a}+1\right)\left(\frac{c-a}{b-c}+1\right)\left(\frac{b-c}{a-b}+1\right)\)

\(=\frac{c-b}{c-a}\cdot\frac{b-a}{b-c}\cdot\frac{a-c}{a-b}=-1\)

Ta có a² + b² + c² = (a + b + c)²

<=> ab + bc + ca = 0

<=> \(\hept{\begin{cases}ab=-bc-ca\\bc=-ac-ab\\ca=-ab-bc\end{cases}}\)

Khi đó a² + 2bc = a² + bc + bc = a² + bc - ac - ab = (a - b)(a - c) 

Tương tư b² + 2ac = (b - a)(b - c) 

c² + ab = (c - a)(c - b) 

Khi đó \(\frac{a^2}{a^2+2bc}+\frac{b^2}{b^2+2ac}+\frac{c^2}{c^2+2ab}\)

\(=\frac{a^2}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{b^2}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}+\frac{c^2}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\)

\(=\frac{-a^2\left(b-c\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\frac{-b^2\left(c-a\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\frac{-c^2\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)

\(=\frac{-a^2b+a^2c-b^2c+b^2a-c^2a+c^2b}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=\frac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=1\)(đpcm) 

TXĐ: \(D=[0;1]\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}a=\sqrt{x}\\b=\sqrt{1-x}\end{cases}}\left(a,b\ge0\right)\), ta có hệ phương trình:

\(\hept{\begin{cases}3+2ab=3a+3b\left(1\right)\\a^2+b^2=1\left(2\right)\end{cases}}\)

Cộng vế-vế (1) và (2), ta được: \(\left(a+b\right)^2+3=3\left(a+b\right)+1\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-3\left(a+b\right)+2=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a+b=1\\a+b=2\end{cases}}\)

+) Nếu \(a+b=1\) thì \(\sqrt{x}+\sqrt{1-x}=1\Leftrightarrow1+2\sqrt{x\left(1-x\right)}=1\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=1\end{cases}}\)

+) Nếu \(a+b=2\) thì \(\sqrt{x}+\sqrt{1-x}=2\Leftrightarrow1+2\sqrt{x-x^2}=4\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-x^2}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow-4x^2+4x-9=0\) (Vô nghiệm)

\(S=\left\{0;1\right\}\)