Xác định a và b sao cho đa thức x4 + ax2 + b chia hết cho đa thức x2 - x + 1
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\dfrac{1}{2^2}< \dfrac{1}{1\cdot2}=1-\dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{1}{3^2}< \dfrac{1}{2\cdot3}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\)
...
\(\dfrac{1}{n^2}< \dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}\)
Do đó: \(\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{n^2}< 1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}=1-\dfrac{1}{n}\)
=>\(A=\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{n^2}< 2-\dfrac{1}{n}< 2\)
=>A<2
mà A>1
nên 1<A<2
=>A không là số tự nhiên
ta có
1/2^2 =1/2.2 < 1/1.2 (do 1/2.2 = 1/4 <1/2)
1/3^2 = 1/3.3 <1/2.3
1/4^2= 1/4. 4 <1/3.4
...... (làm tương tự thế)
1/n^2 =1/n.n < 1/(n-1).n
suy ra 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 +....+1/n^2 < 1/1.2 + 1/2.3 + 1/3.4 +...+1/n.(n+1)
ta có 1/1.2 + 1/2.3 + 1/3.4 + ... +1/(n-1).n
=1/1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 + .... +1/n-1 -1/n
=1/1 - 1/n (1/n-1)triệt tiêu phía trước)
suy ra 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ...+1/n^2 < 1-1/n <1
mà 1/2^2 + 1/3^2 + ...+1/n^2 >0
suy ra 0<1/2^2 +1/3^2+...+1/n^2<1
suy ra 1/2^2 +1/3^2 +....+1/n^2 ko là số tự nhiên với số tự nhiên n>2
bạn đừng ghi cái ngoặc nhé
1: \(\dfrac{2x+1}{x\sqrt{x}-1}-\dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}\)
\(=\dfrac{2x+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}-\dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}\)
\(=\dfrac{2x+1-\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}=\dfrac{x+\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\)
\(\left(\dfrac{1+x\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}-\sqrt{x}\right)\)
\(=\dfrac{\left(1+\sqrt{x}\right)\left(1-\sqrt{x}+x\right)}{1+\sqrt{x}}-\sqrt{x}\)
\(=1-\sqrt{x}+x-\sqrt{x}=x-2\sqrt{x}+1=\left(\sqrt{x}-1\right)^2\)
\(B=\left(\dfrac{2x+1}{x\sqrt{x}-1}-\dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}\right)\left(\dfrac{1+x\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}-\sqrt{x}\right)+\dfrac{2-2\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\)
\(=\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\sqrt{x}-1}+\dfrac{2-2\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\)
\(=\sqrt{x}-1+\dfrac{2-2\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=\dfrac{x-\sqrt{x}+2-2\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\)
\(=\dfrac{x-3\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}=\left(\sqrt{x}-1\right)\cdot\dfrac{\left(\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}}\)
2:
a:
Để B=0 thì \(\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}}=0\)
=>\(\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)=0\)
=>\(\left[{}\begin{matrix}x=1\left(loại\right)\\x=4\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)
b: \(B+\dfrac{3\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}}< =0\)
=>\(\dfrac{x-3\sqrt{x}+2+3\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}}< =0\)
=>x-2<=0
=>x<=2
kết hợp ĐKXĐ, ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}0< x< =2\\x\ne1\end{matrix}\right.\)
3: Để B là số nguyên thì \(x-3\sqrt{x}+2⋮\sqrt{x}\)
=>\(\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)+2⋮\sqrt{x}\)
=>\(2⋮\sqrt{x}\)
=>\(\sqrt{x}\in\left\{1;2\right\}\)
=>\(x\in\left\{1;4\right\}\)
Kết hợp ĐKXĐ, ta được: x=4
a: Xét ΔABC vuông tại A và ΔHBA vuông tại H có
\(\widehat{ABC}\) chung
Do đó: ΔABC~ΔHBA
=>\(\dfrac{BA}{BH}=\dfrac{BC}{BA}\)
=>\(BA^2=BH\cdot BC\)
b: Xét ΔCED vuông tại E và ΔCHA vuông tại H có
\(\widehat{ECD}\) chung
Do đó: ΔCED~ΔCHA
=>\(\dfrac{CE}{CH}=\dfrac{CD}{CA}\)
=>\(\dfrac{CE}{CD}=\dfrac{CH}{CA}\)
=>\(CE\cdot CA=CD\cdot CH\)
Xét ΔCEH và ΔCDA có
\(\dfrac{CE}{CD}=\dfrac{CH}{CA}\)
\(\widehat{ECH}\) chung
Do đó: ΔCEH~ΔCDA
=>\(\widehat{CHE}=\widehat{CAD}\)
mà \(\widehat{CAD}+\widehat{BAD}=\widehat{BAC}=90^0\)
và \(\widehat{CHE}+\widehat{AHE}=\widehat{CHA}=90^0\)
nên \(\widehat{BAD}=\widehat{AHE}\)
Xét ΔBAD và ΔAHE có
\(\widehat{BAD}=\widehat{AHE}\)
\(\widehat{ABD}=\widehat{HAE}\)
Do đó: ΔBAD~ΔAHE
c: ta có: \(\widehat{BAD}+\widehat{CAD}=\widehat{BAC}=90^0\)
\(\widehat{BDA}+\widehat{HAD}=90^0\)(ΔHAD vuông tại H)
mà \(\widehat{BAD}=\widehat{BDA}\)(ΔBAD cân tại B)
nên \(\widehat{CAD}=\widehat{HAD}\)
=>AD là phân giác của góc HAC
Xét ΔAHD vuông tại H và ΔAED vuông tại E có
AD chung
\(\widehat{HAD}=\widehat{EAD}\)
Do đó: ΔAHD=ΔAED
=>AH=AE
=>ΔAHE cân tại A
=>AD\(\perp\)HE
mà HE//AF
nên AD\(\perp\)AF
=>AF là phân giác góc ngoài tại A của ΔAHC
Xét ΔAHC có AF là phân giác ngoài
nên \(\dfrac{FH}{FC}=\dfrac{AH}{AC}\left(1\right)\)
Xét ΔAHC có AD là phân giác
nên \(\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{DH}{DC}\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(\dfrac{FH}{FC}=\dfrac{DH}{DC}\)
=>\(FH\cdot DC=DH\cdot FC\)
a: Xét ΔABC vuông tại A và ΔHBA vuông tại H có
\(\widehat{ABC}\) chung
Do đó: ΔABC~ΔHBA
=>\(\dfrac{BA}{BH}=\dfrac{BC}{BA}\)
=>\(BA^2=BH\cdot BC\)
b: Xét ΔCED vuông tại E và ΔCHA vuông tại H có
\(\widehat{ECD}\) chung
Do đó: ΔCED~ΔCHA
=>\(\dfrac{CE}{CH}=\dfrac{CD}{CA}\)
=>\(\dfrac{CE}{CD}=\dfrac{CH}{CA}\)
=>\(CE\cdot CA=CD\cdot CH\)
Xét ΔCEH và ΔCDA có
\(\dfrac{CE}{CD}=\dfrac{CH}{CA}\)
\(\widehat{ECH}\) chung
Do đó: ΔCEH~ΔCDA
=>\(\widehat{CHE}=\widehat{CAD}\)
mà \(\widehat{CAD}+\widehat{BAD}=\widehat{BAC}=90^0\)
và \(\widehat{CHE}+\widehat{AHE}=\widehat{CHA}=90^0\)
nên \(\widehat{BAD}=\widehat{AHE}\)
Xét ΔBAD và ΔAHE có
\(\widehat{BAD}=\widehat{AHE}\)
\(\widehat{ABD}=\widehat{HAE}\)
Do đó: ΔBAD~ΔAHE
c: ta có: \(\widehat{BAD}+\widehat{CAD}=\widehat{BAC}=90^0\)
\(\widehat{BDA}+\widehat{HAD}=90^0\)(ΔHAD vuông tại H)
mà \(\widehat{BAD}=\widehat{BDA}\)(ΔBAD cân tại B)
nên \(\widehat{CAD}=\widehat{HAD}\)
=>AD là phân giác của góc HAC
Xét ΔAHD vuông tại H và ΔAED vuông tại E có
AD chung
\(\widehat{HAD}=\widehat{EAD}\)
Do đó: ΔAHD=ΔAED
=>AH=AE
=>ΔAHE cân tại A
=>AD\(\perp\)HE
mà HE//AF
nên AD\(\perp\)AF
=>AF là phân giác góc ngoài tại A của ΔAHC
Xét ΔAHC có AF là phân giác ngoài
nên \(\dfrac{FH}{FC}=\dfrac{AH}{AC}\left(1\right)\)
Xét ΔAHC có AD là phân giác
nên \(\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{DH}{DC}\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(\dfrac{FH}{FC}=\dfrac{DH}{DC}\)
=>\(FH\cdot DC=DH\cdot FC\)
\(P\left(x\right)⋮Q\left(x\right)\)
=>\(x^4-2x^3+x^2+13x-11⋮x^2-2x+3\)
=>\(x^4-2x^3+3x^2-2x^2+4x-6+9x-5⋮x^2-2x+3\)
=>\(\left(x^2-2x+3\right)\cdot\left(x^2-2\right)+9x-5⋮x^2-2x+3\)
=>\(9x-5⋮x^2-2x+3\)
=>9x-5=0
=>\(x=\dfrac{5}{9}\)
\(x^4+ax^2+b⋮x^2-x+1\)
=>\(x^4-x^3+x^2+x^3-x^2+x+ax^2-ax+a+x\left(a-1\right)-a+b⋮x^2-x+1\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}a-1=0\\-a+b=0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=a=1\end{matrix}\right.\)