đk: \(\hept{\begin{cases}x,y\ge0\\\sqrt{x}+\sqrt{y}\ne0\end{cases}}\)

Mà \(\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge0\left(\forall x,ytm\right)\)

=> x,y không cùng bằng 0

Vậy \(x,y\ge0\) và \(\orbr{\begin{cases}x=0\\y=0\end{cases}}\) hoặc x,y khác 0

Gọi MO,NO cắt đường thẳng BC lần lượt tại R,S.

Xét \(\Delta XAC\): M là trung điểm cạnh AC, MO || AX vì cùng vuông góc AC, suy ra MO đi qua trung điểm XC

Ta có R là trung điểm XC, MN || XC vì MN là đường trung bình \(\Delta ABC\), suy ra \(M\left(CXRN\right)=-1\)

Tương tự thì \(N\left(YBSM\right)=-1\)

Do đó \(M\left(CXRN\right)=N\left(YBSM\right)\) hay \(M\left(QPON\right)=N\left(QPOM\right)\)

Suy ra P,O,Q thẳng hàng.

- Đặt \(u=\sqrt{x}\). Khi đó :

+) \(u\ge0\)

+) \(A=\frac{1+u^2}{\left(1+u\right)^2}\)

Ta có : \(2\left(1+u^2\right)\ge\left(1+u\right)^2\Leftrightarrow2+2u^2\ge1+u^2+2u\Leftrightarrow1-2u+u^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(1-u\right)^2\ge0\)( luôn đúng )

\(\Rightarrow A\ge\frac{1}{2}\)

Khi u = 1 thì \(A=\frac{1}{2}\). Vậy min \(A=\frac{1}{2}\)

- Đặt v = 1+ u . Khi đó :

+) v > 1

+) \(A=\frac{1+\left(v-1\right)^2}{v^2}=\frac{v^2-2u+2}{v^2}=1-\frac{2}{v}+\frac{2}{v^2}\)

         \(=2\left[\left(\frac{1}{v}\right)^2-\left(\frac{1}{v}\right)\right]+1=2\left[\left(\frac{1}{v}\right)-\frac{1}{2}\right]^2+\frac{1}{2}\)

- Vì \(v\ge1\)\(\frac{1}{v}\le1\Rightarrow-\frac{1}{2}\le\frac{1}{v}-\frac{1}{2}\le\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow a\le\left|\frac{1}{v}-\frac{1}{2}\right|\le\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{1}{2}\le2\left|\frac{1}{v}-\frac{1}{2}\right|^2+\frac{1}{2}\le1\Rightarrow\frac{1}{2}\le A\le1\)

Ta thấy :

+) khi v = 2 ( tức là khi x = 1 ) thì \(A=\frac{1}{2}\)

+) khi v = 1 ( tức là khi x = 0 ) thì A  = 1

Vậy maxA = 1 và min\(A=\frac{1}{2}\)

\(A=\frac{x+1}{x+1+2\sqrt{x}}=1-\frac{2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}\le1\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = 0 

=> Max A = 1 <=> x = 0 

đk : \(x\ge1\)

\(\Leftrightarrow x\sqrt{x}=\sqrt{x^2-1}+\sqrt{x-1}\)

\(\Leftrightarrow x\sqrt{x}=\sqrt{x-1}\left(\sqrt{x+1}+1\right)\)

\(\Leftrightarrow x\sqrt{x}=\sqrt{x-1}.\frac{\left(x+1\right)-1}{\sqrt{x+1}-1}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\left(\sqrt{x+1}-1\right)=\sqrt{x-1}\)( ví \(x\ge1>0\))

\(\Leftrightarrow x\left(x+2-2\sqrt{x+1}\right)=x-1\)( vì \(x\ge1\)nên \(\sqrt{x+1}-1>0\))

\(\Leftrightarrow x^2+x+1-2x.\sqrt{x+1}=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x\sqrt{x+1}+\left(x+1\right)=0\)( ta có thể lập pt 2 vế )

\(\Leftrightarrow x-\sqrt{x+1}=0\Leftrightarrow x=\sqrt{x+1}\Leftrightarrow x^2=x+1\)

\(\Leftrightarrow x^2-x-1=0\Leftrightarrow x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)hoặc \(x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)( vì đk \(x\ge1\))

Vậy nghiệm của pt là \(x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+\left(y^2+3y-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=-\left(y-1\right)\left(y+4\right)\)

\(VT\left(2\right)\ge0\forall x,y\Rightarrow VP\left(2\right)\ge0\Rightarrow\left(y-1\right)\left(y+4\right)\le0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}y-1\le0\\y+4\ge0\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}y-1\ge0\\y+4\le0\end{cases}\Rightarrow}-4\le y\le1\)

\(\Rightarrow y\in\left\{-4;-3;-2;-1;0;1\right\}\)

- Thử lại :

\(+)y=-4:\left(2\right)\Leftrightarrow\left(x-4\right)^2=0\Leftrightarrow x=4\)

\(+)y=-3:\left(2\right)\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2=4\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-3=2\\x-3=-2\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=5\\x=1\end{cases}}}\)

\(+)y=-2:\left(2\right)\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2=6\)( vô nghiệm nguyên )

\(+)y=-1:\left(2\right)\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=6\)( vô nghiệm nguyên )

\(+)y=0:\left(2\right)\Leftrightarrow x^2=4\Leftrightarrow x=2;x=-2\)

\(+)y=1:\left(2\right)\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2=0\Leftrightarrow x=-1\)

Vậy các nghiệm của hpt là : \(\left(4;-4\right)\);\(\left(5;-3\right)\); \(\left(1;-3\right)\); \(\left(2;0\right)\);\(\left(-2;0\right)\);\(\left(-1;1\right)\)

Coi (1) là phương trình bậc 2 ẩn x, y là tham số 

(1) có nghiệm <=> Δ' ≥ 0 <=> y² - ( 2y² + 3y - 4 ) ≥ 0

<=> -y² - 3y + 4 ≥ 0 <=> -4 ≤ y ≤ 1

Vì y nguyên => y ∈ { -4 ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 }

+) Với y = -4 (1) trở thành x² - 8x + 16 = 0 <=> ( x - 4 )² = 0 <=> x = 4 (tm)

+) Với y = -3 (1) trở thành x² - 6x + 5 = 0 <=> ( x - 1 )( x - 5 ) = 0 <=> x = 1 (tm) hoặc x = 5(tm)

+) Với y = -2 (1) trở thành x² - 4x - 2 = 0 có Δ = 24 không là SCP nên không có nghiệm nguyên

+) Với y = -1 (1) trở thành x² - 2x - 5 = 0 có Δ = 24 không là SCP nên không có nghiệm nguyên

+) Với y = 0 (1) trở thành x² - 4 = 0 <=> x = ±2 (tm)

+) Với y = 1 (1) trở thành x² + 2x + 1 = 0 <=> ( x + 1 )² = 0 <=> x = -1(tm)

Vậy ( x ; y ) ∈ { ( 4 ; -4 ) , ( 1 ; -3 ) , ( 5 ; -3 ) , ( 2 ; 0 ) , ( -2 ; 0 ) , ( -1 ; 1 ) }

~ Học tốt ~

~ Học tốt ~

\(\frac{1}{\sqrt{7-\sqrt{24}}+1}-\frac{1}{\sqrt{7+\sqrt{24}}-1}\)

\(\frac{1}{\sqrt{7-2\sqrt{6}}+1}-\frac{1}{\sqrt{7+2\sqrt{6}}-1}\)

\(\frac{1}{\sqrt{\left(\sqrt{6}-1\right)^2}+1}-\frac{1}{\sqrt{\left(\sqrt{6}+1\right)^2}-1}\)

\(\frac{1}{\sqrt{6}-1+1}-\frac{1}{\sqrt{6}+1-1}\)

\(\frac{1}{\sqrt{6}}-\frac{1}{\sqrt{6}}\)

\(=0\)