1.

\(y'=\dfrac{2x+4}{2\sqrt{x^2+4x+3}}=\dfrac{x+2}{\sqrt{x^2+4x+3}}\)

2.

\(f'\left(x\right)=\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}+\dfrac{1}{2\sqrt{x-1}}\)

3.

\(y'=\dfrac{\left(2x+2\right)\left(x-2\right)-\left(x^2+2x+1\right)}{\left(x-2\right)^2}=\dfrac{x^2-4x-5}{\left(x-2\right)^2}\)

4.

\(y'=\dfrac{-6}{\left(6x-5\right)^2}\)

5.

\(y'=\dfrac{2.\left(-1\right)-1.1}{\left(x-1\right)^2}=\dfrac{-3}{\left(x-1\right)^2}\)

6.

\(y'=4x^3+4x\)

Câu 1:

\(y=x^3+2x^2+1\)

=>\(y'=3x^2+2\cdot2x=3x^2+4x\)

\(y'\left(1\right)=3\cdot1^2+4\cdot1=3+4=7\)

Phương trình tiếp tuyến tại x=1 là:

y-f(1)=f'(1)(x-1)

=>y-4=7(x-1)

=>y=7x-7+4=7x-3

Câu 2:

a: BD\(\perp\)AC(ABCD là hình vuông)

BD\(\perp\)SA(SA\(\perp\)(ABCD))

AC,SA cùng thuộc mp(SAC)

Do đó: BD\(\perp\)(SAC)

b: \(S_{ABCD}=AB^2=a^2\)

\(V_{S.ABCD}=\dfrac{1}{3}\cdot SA\cdot S_{ABCD}=\dfrac{1}{3}\cdot3a\cdot a^2=a^3\)

a.

\(S_{\Delta ABC}=\dfrac{1}{2}AB.AC.sinA=\dfrac{1}{2}.a.a.sin120^0=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\)

\(\Rightarrow V=\dfrac{1}{3}SA.S_{\Delta ABC}=\dfrac{a^3}{8}\)

b.

Gọi N là trung điểm AB \(\Rightarrow MN\) là đường trung bình tam giác ABC

\(\Rightarrow MN||AC\Rightarrow AC||\left(SMN\right)\)

\(\Rightarrow d\left(SM;AC\right)=d\left(AC;\left(SMN\right)\right)=d\left(A;\left(SMN\right)\right)\)

Từ A kẻ AH vuông góc MN (H thuộc đường thẳng MN)

Từ A kẻ \(AK\perp SH\)  (K thuộc SH) (1)

\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp MN\\AH\perp MN\left(gt\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow MN\perp\left(SAH\right)\)

\(\Rightarrow MN\perp AK\) (2)

(1);(2)\(\Rightarrow AK\perp\left(SMN\right)\Rightarrow AK=d\left(A;\left(SMN\right)\right)\)

AH vuông góc MN, mà AC song song MN \(\Rightarrow AH\perp AC\Rightarrow\widehat{CAH}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{HAN}=\widehat{BAC}-\widehat{CAH}=120^0-90^0=30^0\)

\(\Rightarrow AH=AN.cos\widehat{HAN}=\dfrac{AB}{2}.cos30^0=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}\)

Hệ thức lượng:

\(AK=\dfrac{AH.SA}{\sqrt{AH^2+SA^2}}=\dfrac{a\sqrt{39}}{26}\)

a: ta có: BD\(\perp\)AC(ABCD là hình vuông)

BD\(\perp\)SA(SA\(\perp\)(ABCD))

SA,AC cùng thuộc mp(SAC)

Do đó: BD\(\perp\)(SAC)

=>BD\(\perp\)SC

Câu này còn câu b 

Gọi chiều cao của các tam giác cân màu hồng là x>0

\(\Rightarrow\)  Độ dài đường chéo đáy: \(c=4-2x\)

Do đáy là hình vuông nên cạnh hình vuông: \(a=\dfrac{c}{\sqrt{2}}=\dfrac{4-2x}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}-x\sqrt{2}\)

Cạnh của tam giác cân màu hồng: \(l=\sqrt{\left(\dfrac{4}{2}\right)^2+x^2}=\sqrt{x^2+4}\)

Chiều cao chóp: \(h=\sqrt{l^2-\left(\dfrac{c}{2}\right)^2}=\sqrt{x^2+4-\left(2-x\right)^2}=2\sqrt{x}\)

\(V=\dfrac{1}{3}h.a^2=\dfrac{4}{3}.\sqrt{x}.\left(2-x\right)^2\)

\(\Rightarrow V^2=\dfrac{16}{9}x\left(2-x\right)^4=\dfrac{16}{9}.4x.\left(2-x\right)\left(2-x\right)\left(2-x\right)\left(2-x\right)\)

\(\le\dfrac{16}{9}\left(\dfrac{4x+2-x+2-x+2-x+2-x}{5}\right)^5=\dfrac{16}{9}.\left(\dfrac{8}{5}\right)^5\)

Dấu "=" xảy ra khi \(4x=2-x\Rightarrow x=\dfrac{2}{5}\)

\(\Rightarrow\) Cạnh tam giác cân: \(l=\sqrt{x^2+4}=\sqrt{\left(\dfrac{2}{5}\right)^2+4}=\dfrac{2\sqrt{26}}{5}\)

Gọi D là trung điểm B'C' \(\Rightarrow A'D\perp B'C'\) (1)

Mà G là trọng tâm A'B'C' \(\Rightarrow G\in A'D\Rightarrow AG\in\left(A'AD\right)\)

\(AG\perp\left(A'B'C'\right)\Rightarrow AG\perp B'C'\)  (2)

(1);(2) \(\Rightarrow BC\perp\left(A'AG\right)\)

Từ D kẻ \(DH\perp A'A\), do \(DH\in\left(A'AD\right)\Rightarrow B'C'\perp DH\)

\(\Rightarrow DH\) là đường vuông góc chung của AA' và B'C'

\(\Rightarrow DH=d\left(AA';B'C'\right)\)

\(A'D=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) (trung tuyến tam giác đều)

\(A'G=\dfrac{2}{3}A'D=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\) \(\Rightarrow AG=\sqrt{A'A^2-A'G^2}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\)

\(DH=A'D.sin\widehat{AA'G}=A'D.\dfrac{AG}{A'A}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)

Qua B kẻ đường thẳng song song AC cắt AD kéo dài tại E

Từ A kẻ \(AF\perp BE\) (F thuộc BE), từ A kẻ \(AH\perp SF\) (H thuộc SF)

\(AC||BE\Rightarrow AC||\left(SBE\right)\Rightarrow d\left(AC;SB\right)=d\left(AC;\left(SBE\right)\right)=d\left(A;\left(SBE\right)\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}AF\perp BE\\SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BE\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BE\perp\left(SAF\right)\)

\(\Rightarrow BE\perp AH\Rightarrow AH\perp\left(SBE\right)\)

\(\Rightarrow AH=d\left(A;\left(SBE\right)\right)\)

ACBE là hình bình hành (2 cặp cạnh đối song song) \(\Rightarrow AE=BC=AB=a\)

\(\Rightarrow\Delta ABE\) vuông cân tại A \(\Rightarrow AF=\dfrac{AB}{\sqrt{2}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)

Hệ thức lượng tam giác vuông SAF:

\(AH=\dfrac{AF.SA}{\sqrt{AF^2+SA^2}}=\dfrac{3a\sqrt{19}}{19}\)

 a) Số học sinh thích học ít nhất một trong 2 môn là \(38-3=35\)

\(\Rightarrow P=\dfrac{35}{38}\)

 b) Gọi M, L lần lượt là tập hợp các học sinh thích học toán và văn.

\(\Rightarrow\left|M\cap L\right|=\left|M\right|+\left|L\right|-\left|M\cup L\right|\) \(=25+20-35=10\)

\(\Rightarrow P=\dfrac{10}{38}=\dfrac{5}{19}\)