Gọi độ dài cạnh huyền là a và cạnh góc vuông chưa biết là b, cạnh đã biết là c

 Ta có b/a =4/5 

 ⇒ b = 4a/5

  Khi đó áp dụng định lý Pytago ta có

    a²= b²+ c²

 Thay b vào ta có 

  a² =(4a/5)² +9²

  a² = 16a²/25 +81

 9a²/25 = 81 

 ⇒ a² = 225

 ⇒ a =15cm

 => b= 12cm

 Khi đó AD hệ thức lượng trong tam giác ta có ( gọi độ dài hình chiếu của b và c xuống a lần lượt là x và y)

  Ta có  b² = x.a

 ⇔    12² = x . 15 

 ⇒ x =48/5 =9.6cm

  Và c² =  y.a 

 ⇒ 9² = y.15

 ⇒y= 27/5 =5.4cm

\(\sqrt{1.5}\sqrt{1.2}\sqrt{500}\)

\(=\sqrt{900}\)

\(=30\)

\(\sqrt{1,5}\cdot\sqrt{1,2}\cdot\sqrt{500}=\sqrt{1,5\cdot1,2\cdot500}\)

\(=\sqrt{900}=30\)

\(a,\sqrt{9-4\sqrt{5}}-\sqrt{5}=-2\)

\(\sqrt{\sqrt{5}^2-4\sqrt{5}+2^2}-\sqrt{5}\)

\(\sqrt{\left(\sqrt{5}-2\right)^2}-\sqrt{5}\)

\(\sqrt{5}-2-\sqrt{5}=-2< =>ĐPCM\)

\(b,\left(4-\sqrt{7}\right)^2=16-8\sqrt{7}+7=23-8\sqrt{7}=VP\)

\(< =>ĐPCM\)

\(c,\sqrt{11-2\sqrt{10}}-\sqrt{10}\)

\(\sqrt{\sqrt{10}^2-2\sqrt{10}+1}-\sqrt{10}\)

\(\sqrt{\left(\sqrt{10}-1\right)^2}-\sqrt{10}=\sqrt{10}-1-\sqrt{10}\)

\(=-1,=>ĐPCM\)

\(d,\sqrt{\sqrt{3}^2+2\sqrt{3}+1}-\sqrt{\sqrt{3}^2-2\sqrt{3}+1}\)

\(\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}\)

\(\sqrt{3}+1-\sqrt{3}+1=2\)

\(\sqrt[3]{4}+\frac{2}{\sqrt[3]{2}\left(\sqrt[3]{2}+1+\sqrt[3]{4}\right)}\)

\(\sqrt[3]{4}+\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2}+1+\sqrt[3]{4}}\)

\(\frac{\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2}+1+\sqrt[3]{4}}\)

\(\frac{2+2\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{16}}{\sqrt[3]{2}+1+\sqrt[3]{4}}\)

\(\frac{2\left(1+\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}\right)}{\sqrt[3]{2}+1+\sqrt[3]{4}}\)

\(=2\)

Ta có: \(\sqrt{1+x^2+y^2}\ge\sqrt{3\sqrt[3]{x^2y^2}}=\sqrt{3}\sqrt[3]{xy}\)

\(\Rightarrow\frac{\sqrt{1+x^2+y^2}}{xy}\ge\frac{\sqrt{3}\sqrt[3]{xy}}{xy}=\sqrt{3}\sqrt[3]{xy}z\)

Tương tự ta cũng có: \(\frac{\sqrt{1+y^2+z^2}}{yz}\ge\sqrt{3}\sqrt[3]{yz}x,\frac{\sqrt{1+z^2+x^2}}{zx}\ge\sqrt{3}\sqrt[3]{zx}y\)

Suy ra \(P\ge\sqrt{3}\left(\sqrt[3]{xy}z+\sqrt[3]{yz}x+\sqrt[3]{zx}y\right)\ge3\sqrt{3}\sqrt[3]{\sqrt[3]{x^5y^5z^5}}=3\sqrt{3}\)

Dấu \(=\)khi \(x=y=z=1\).

Áp dụng BĐT Svacxo ta có :

\(P\ge sigma\frac{\sqrt{\left(1+x+y\right)^2}}{\sqrt{3}.xy}=\frac{z+xz+yz}{\sqrt{3}xyz}+\frac{x+xy+xz}{\sqrt{3}xyz}+\frac{y+yz+yx}{\sqrt{3}xyz}\)

\(=\frac{x+y+z+2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}{\sqrt{3}}\)

Theo AM-GM thì \(\left(x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge6+3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}=9\)

Khi đó : \(\frac{x+y+z+\frac{2}{x}+\frac{2}{y}+\frac{2}{z}}{\sqrt{3}}\ge\frac{9}{\sqrt{3}}=3\sqrt{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=1\)

Vậy Min P = 3 căn 3 khi x=y=z=1 

okela -))

a) Ta có \(\sin\widehat{OAB}=\frac{OB}{OA}=\frac{1}{2}\). Suy ra \(\widehat{BAC}=2\widehat{OAB}=60^0\)

Vì AB = AC nên \(\Delta ABC\) đều. Vậy \(BC=AB=OB\sqrt{3}=R\sqrt{3}\)

Gọi I là tiếp điểm của FN với (O). Ta có:

\(\widehat{MON}=\widehat{IOM}+\widehat{ION}=\frac{1}{2}\left(\widehat{IOB}+\widehat{IOC}\right)=\frac{1}{2}\widehat{BOC}=60^0=\widehat{MCN}\)

Suy ra tứ giác MNCO nội tiếp.

b) Theo hệ thức lượng: \(\overline{AH}.\overline{AO}=AB^2=\overline{AD}.\overline{AE}\). Suy ra tứ giác DHOE nội tiếp

Ta thấy \(OD=OE,HO\perp HB\), do đó HO,BC là phân giác ngoài và phân giác trong \(\widehat{DHE}\)

Dễ thấy D và P đối xứng nhau qua OA vì dây cung \(DP\perp OA\)

Vì \(\widehat{DHE}+\widehat{DHP}=2\left(\widehat{DHB}+\widehat{DHA}\right)=180^0\) nên P,H,E thẳng hàng.

c) Do N,O,E thẳng hàng nên \(\widehat{DOE}=180^0-\widehat{MON}=120^0\). Suy ra \(DE=R\sqrt{3}\)

Theo hệ thức lượng thì:

\(AD.AE=AB^2\Rightarrow AD^2+AD.DE=AB^2\)

\(\Rightarrow\left(\frac{AD}{DE}\right)^2+\frac{AD}{DE}-\left(\frac{AB}{DE}\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\left(\frac{AD}{DE}\right)^2+\frac{AD}{DE}-1=0\) vì \(AB=DE=R\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\frac{AD}{DE}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\left(c\right)\\\frac{AD}{DE}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\left(l\right)\end{cases}}\) vì \(\frac{AD}{DE}>0\)

\(\Rightarrow\frac{AD}{AE}=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}.\)

\(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n}\sqrt{n+1}}=\frac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}{\sqrt{n}\sqrt{n+1}\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}\)

\(=\frac{n+1-n}{n\sqrt{n+1}+\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}\)

\(VT=\frac{n+1-n}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}{\sqrt{n}.\sqrt{n+1}\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}=\)

\(=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n}.\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\left(dpcm\right)\)