Điều kiện xác định: \(x\ge0\).

Lấy \(x_1>x_2\ge0\).

\(f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}=\frac{x_1-x_2}{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}}>0\)

Do đó hàm số đồng biến. 

Lần lượt thế tọa độ các điểm vào hàm số ban đầu, ta thấy điểm \(C\left(9,3\right)\)thỏa mãn nên nó thuộc đồ thị của hàm số đã cho, các điểm khác không thuộc. 

xin lỗi nhầm
Ta có: BC^2 = AB^2 + AC^2
= 12^2 + 16^2 = 400
=> BC = √400 = 20 (cm)
Δ ABC vuông có đường cao AH:
=> AB^2 = BH.BC
=> BH = AB^2/BC = 12^2/20 = 7.2 (cm)

=> CH = 20 - 7.2 = 12.8 (cm)
Ta có: AD là phân giác
=> BD/CD = AB/AC
=>( BD + CD)/CD = (AB + AC)/AC
=> 20/CD = 28/16
=> CD = 80/7
=> HD = CH - CD
= 12.8 - (80/7)
= 48/35 (cm)

Bạn tự kẻ hình nhé .

Áp dụng định lý Pytago cho \(\Delta ABC\)vuông tại A ,có :

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{12^2+16^2}=\sqrt{400}=20\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\)vuông tại A có AH là đường cao ,có : 

\(AB^2=BH.BC\)

\(\Rightarrow BH=\frac{AB^2}{BC}=\frac{12^2}{20}=7,2\)

Áp dụng tính chất đường phân giác trong \(\Delta ABC\)có AD là phân giác :

\(\frac{BD}{AB}=\frac{CD}{AC}\Rightarrow\frac{BD}{12}=\frac{CD}{16}\)

\(\Rightarrow\frac{BD}{12}=\frac{CD}{16}=\frac{BD+CD}{12+16}=\frac{BC}{28}=\frac{20}{28}=\frac{5}{7}\)

\(\Rightarrow BD=12.\frac{5}{7}=\frac{60}{7}\)

Ta có : \(BH=7,2< \frac{60}{7}=BD\)

\(\Rightarrow H\)nằm giữa B và D

\(\Rightarrow HD=BD-BH=\frac{60}{7}-7,2=\frac{48}{35}\)

Áp dụng định lí Pytago cho \(\Delta AHD\)vuông tại H ,có:

\(AD=\sqrt{AH^2+HD^2}=\sqrt{\left(7,2\right)^2+\left(\frac{48}{35}\right)^2}\approx7,33\)

a) \(A=\left|2-\sqrt{5}\right|+\left|2\sqrt{2}-\sqrt{5}\right|\)

\(=\sqrt{5}-2+2\sqrt{2}-\sqrt{5}=2\sqrt{2}-2\)

b) \(B=\left|\sqrt{7}-2\sqrt{2}\right|+\left|3-2\sqrt{2}\right|\)

\(=2\sqrt{2}-7+3-2\sqrt{2}=-4\)

c) \(C=\sqrt{9+6\sqrt{2}+2}-\sqrt{9-6\sqrt{2}+2}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{2}+3\right)^2}-\sqrt{\left(3-\sqrt{2}\right)^2}=\left(3+\sqrt{2}\right)-\left(3-\sqrt{2}\right)=2\sqrt{2}\)

d) \(D=\sqrt{9+12\sqrt{2}+8}+\sqrt{9-12\sqrt{2}+8}\)

\(=\sqrt{\left(3+2\sqrt{2}\right)^2}+\sqrt{\left(3-2\sqrt{2}\right)^2}=\left(3+2\sqrt{2}\right)-\left(3-2\sqrt{2}\right)=4\sqrt{2}\)

căn 15 < căn 16=4

căn 8 < căn 9 bằng 3 

mà 4=3=7 suy ra 7>căn 15 cộng căn 8

\(A=\sqrt{49}.\sqrt{144}+\sqrt{256}:\sqrt{64}\)

\(A=7.12+\sqrt{4}\)

\(A=84+2\)

\(A=86\)

\(B=72:\sqrt{2^2.36.3^2}-\sqrt{225}\)

\(B=72:\sqrt{36.36}-15\)

\(B=2-15=-13\)

a) đk: \(x\ge2\)

\(\sqrt{x^2-2x+1}+\sqrt{x^2-4x+4}=3\)

\(\Rightarrow\sqrt{\left(x-1\right)^2}+\sqrt{\left(x-2\right)^2}=3\)

\(\Leftrightarrow\left|x-1\right|+\left|x-2\right|=3\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-1\right)+\left(x-2\right)=3\\\left(x-1\right)-\left(x-2\right)=3\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-1+x-2=3\\x-1-x+2=3\end{cases}}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x-3=3\\0x+1=3\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x=6\\0x=2\end{cases}\Leftrightarrow}x=3}\)(tm)

Vậy ....

b) \(\sqrt{2x-2+2\sqrt{2x-3}}+\sqrt{2x+13+8\sqrt{2x-3}}=5\)

Đặt \(\sqrt{2x-3}=t\left(t\ge0\right)\)

\(\Rightarrow\sqrt{t^2-1+2t}+\sqrt{t^2+16+8t}=5\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(t-1\right)^2}+\sqrt{\left(t+4\right)^2}=5\)

\(\Leftrightarrow t-1+t+4=5\)

\(\Leftrightarrow2t=2\Leftrightarrow t=1\left(tm\right)\)

\(\Rightarrow\sqrt{2x-3}=1\Leftrightarrow2x-3=1^2\Leftrightarrow x=2\)

Vậy...

\(x^3=\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^3=\sqrt{5^3}+3.5.\sqrt{3}+3.\sqrt{5}.3+\sqrt{3^3}\)

\(=14\sqrt{5}+18\sqrt{3}\)

\(x^2=\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^2=8+2\sqrt{15}\)

\(\frac{1}{x^2}=\frac{1}{8+2\sqrt{15}}=\frac{8-2\sqrt{15}}{8^2-4.15}=\frac{4-\sqrt{15}}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{4}{x^2}=8-2\sqrt{15}\)

\(\Leftrightarrow x^2+\frac{4}{x^2}=16\)

\(\Leftrightarrow x^4-16x^2+4=0\)

Ta có đpcm. 

\(f,\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}\)

\(=\sqrt[3]{3\sqrt{2}+2\sqrt{2}+1+6}-\sqrt[3]{3\sqrt{2}+2\sqrt{2}-1-6}\)

\(=\sqrt[3]{6+2\sqrt{2}+1+3\sqrt{2}}-\sqrt[3]{-6+2\sqrt{2}-1+3\sqrt{2}}\)

\(=\sqrt[3]{\left(1+\sqrt{2}\right)^3}-\sqrt[3]{-\left(1-\sqrt{2}\right)^3}\)

\(=1+\sqrt{2}+1-\sqrt{2}=2\)

\(g,\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}+\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}\)

\(=\sqrt[3]{\left(2+\sqrt{2}\right)^3}+\sqrt[3]{\left(2-\sqrt{2}\right)^3}\)

\(=2+\sqrt{2}+2-\sqrt{2}=4\)

\(A=\frac{x-1}{\sqrt{x}}\div\left[\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}+\frac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\right]\)

\(=\frac{x-1}{\sqrt{x}}\div\frac{x-1+1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{x-1}{\sqrt{x}}\cdot\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{x-\sqrt{x}}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)^2}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}=\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}{\sqrt{x}}\)

 \(A\cdot\sqrt{x}=9\Leftrightarrow\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}{\sqrt{x}}\cdot\sqrt{x}-9=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+4\right)=0\Leftrightarrow x=4\left(tm\right)\)

Vậy ... 

\(\frac{AB}{AC}=\frac{3}{4}\Leftrightarrow AB=\frac{3}{4}AC\)

\(BC^2=AB^2+AC^2=\left(\frac{3}{4}AC\right)^2+AC^2=\frac{25}{16}AC^2\)

\(\Leftrightarrow AC=\frac{4}{5}BC\)

Suy ra \(AC=100\left(cm\right),AB=75\left(cm\right)\)

\(HB=\frac{AB^2}{BC}=\frac{75^2}{125}=45\left(cm\right),HC=BC-HB=80\left(cm\right)\)

Từ \(\frac{AB}{AC}=\frac{3}{4}\Rightarrow AB=\frac{3}{4}AC\)

Xét tam giác ABC vuông tại A có: \(BC^2=AB^2+AC^2\)(Pi - ta - go)

=> \(AB^2+AC^2=125^2=15625\)

<=> \(\left(\frac{3}{4}AC\right)^2+AC^2=15625\)

<=> \(\frac{25}{16}AC^2=15625\)=> \(AC=100\)(cm)  => \(AB=75\)(cm)

Xét tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao

=> \(AB^2=BH.BC\) (hệ thức lượng) =>> \(BH=\frac{AB^2}{BC}=\frac{75^2}{125}=45\)(cm)

\(AC^2=HC.BC\) => \(HC=\frac{AC^2}{BC}=\frac{100^2}{125}=80\)(cm)