Đây là toán nâng cao chuyên đề tính nhanh tổng dãy số có quy luật cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này bằng cách đưa về tổng quen thuộc như sau:           

                  Bài 1:

A = 2000 + 1900 - 1800 + 1700 + 1600 - 1500 +..+ 500 + 400 - 300

Xét dãy số: 300; 400; 500; 600;..; 1800; 1900 

Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là: 

       400 - 300 = 100

Số số hạng của tổng A là: (2000 - 300) : 100 + 1 = 18 (số)

Vì 18 : 3 = 6, nên ta nhóm ba số hạng liên tiếp của A vào thì A khi đó:

A = (2000 + 1900 - 1800)+(1700 + 1600 - 1500)+ .. +(500 + 400- 300)

A = 2100 + 1800 + 1500 + ... + 600

A = 600 + ... + 1500 + 1800 + 2100

Xét dãy số: 600; ...1500; 1800; 2100

Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là: 2100 - 800 = 300

Số số hạng của dãy số trên là: (2100 - 600) : 300 + 1 = 6

Tổng của dãy số trên là:

A = (2100 + 600) x 6 : 2 = 8100 

2: Số số hạng của dãy là:

\(\left(2025-100\right):25+1=1925:25+1=78\left(số\right)\)

2025-2000+1975-1950+...+125-100

=(2025-2000)+(1975-1950)+...+(125-100)

=25+25+...+25

\(=25\cdot39=975\)

2\(^x\) + 2\(^x\)⁺³ = 72

2\(^x\) + 2\(^x\).2³ = 72

2\(^x\).(1 + 2³) = 72

2\(^x\).(1+ 8) = 72

2\(^x\).9 = 72

2\(^x\)    = 72 : 9

2\(^x\)   = 8

2\(^x\) = 2³

  \(x=3\)

Vậy \(x=3\)

Y + 4,23 = 54 : 3,6

Y + 4,23 = 15 

 Y           =   15 - 4,23

Y            =  10,77

                Giải:

Thời gian giàn một tưới là: 1 phút 6 giây = 66 giây

Thời gian giàn hai tưới là: 500 giây

Thời gian giàn hai tưới là: 6 phút 10 giây = 370 giây

Vì 66 giây < 370 giây <  500 giây

Vậy giàn tưới chậm nhất là giàn thứ hai.

Đáp số: Giàn hai tưới chậm nhất.

Lời giải 

        Đổi 1 phút 6 giây = 66 giây

               6 phút 10 giây = 370 giây

  ⇒ Thứ tự :

          66 < 370 < 500

  Vậy giàn thứ 2 là tưới chậm nhất

\(\left(2x^2+1\right)\left(3-2x\right)>0\)

mà \(2x^2+1>=1>0\forall x\)

nên -2x+3>0

=>-2x>-3

=>2x<3

=>\(x< \dfrac{3}{2}\)

Ta có: DE\(\perp\)AB

AC\(\perp\)AB

Do đó: DE//AC

Xét ΔBAC có DE//AC
nên \(\dfrac{DE}{AC}=\dfrac{BE}{BA}\)

=>\(\dfrac{1.5}{9}=\dfrac{2}{AC}\)

=>\(AC=2\cdot\dfrac{9}{1.5}=2\cdot6=12\left(m\right)\)

a: Xét (O) có

DB,DE là các tiếp tuyến

Do đó: DB=DE

=>D nằm trên đường trung trực của BE(1)

Ta có: OB=OE

=>O nằm trên đường trung trực của BE(2)

Từ (1),(2) suy ra OD là đường trung trực của BE

=>OD\(\perp\)BE tại H

b: Xét ΔDBO vuông tại B có BH là đường cao

nên \(DH\cdot DO=DB^2\left(3\right)\)

Xét (O) có

ΔBAC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBAC vuông tại A

=>BA\(\perp\)DC tại A

Xét ΔDBC vuông tại B có BA là đường cao

nên \(DA\cdot DC=DB^2\left(4\right)\)

Từ (3),(4) suy ra \(DH\cdot DO=DA\cdot DC\)

=>\(\dfrac{DH}{DC}=\dfrac{DA}{DO}\)

Xét ΔDHA và ΔDCO có

\(\dfrac{DH}{DC}=\dfrac{DA}{DO}\)

góc HDA chung

Do đó: ΔDHA~ΔDCO

=>\(\widehat{DHA}=\widehat{DCO}=\widehat{ACB}\)

1: \(\left(-56\right)+74+\left(-14\right)+56\)

=(-56+56)+(74-14)

=0+60

=60

2: \(\left(-12\right)+89+\left(-28\right)=89-\left(12+28\right)\)

=89-40

=49

3: \(\left(-5\right)+\left(-75\right)+100+\left(-20\right)\)

=-80-20+100

=-100+100=0

4: \(\left(-27\right)+\left(-208\right)+\left(-43\right)+\left(-102\right)\)

\(=\left(-27-43\right)+\left(-208-102\right)\)

=-70-310

=-380

5: \(\left(-105\right)\cdot19+\left(-76\right)\cdot105-5\cdot105\)

\(=\left(-105\right)\left(19+76+5\right)\)

\(=-105\cdot100=-10500\)

6: \(140+4\cdot119-4\cdot19\)

\(=140+4\cdot\left(119-19\right)\)

\(=140+4\cdot100=140+400=540\)

7: \(\left(2022-129+537\right)-\left(-129+637\right)\)

=2022-129+537+129-637

=2022-100

=1922

8: \(\left(2022-3015\right)-\left(85-2022\right)-\left(-500\right)\)

=2022-3015-85+2022+500

=4044-3100+500

=4044-2600

=1444

9: \(2814:14-\left(23\cdot52-156\right)\cdot2\)

\(=201-52\left(23-3\right)\cdot2\)

\(=201-52\cdot20\cdot2=201-52\cdot40=-1879\)

10: \(\left[516-\left(25\cdot4+16\right)\right]:8-68\)

\(=\left[516-100-16\right]:8-68\)

\(=400:8-68=50-68=-18\)

11: \(5\cdot32+60:2^2-\left(11-6\right)^2\)

\(=160+60:4-5^2\)

=160+15-25

=160-10

=150

12: \(160-10\cdot\left[128-\left(12-3\right)^2\right]-2021^0\)

\(=160-10\cdot\left(128-9^2\right)-1\)

\(=159-10\cdot\left(128-81\right)=159-10\cdot47\)

=159-470

=-311

13: \(5\cdot6^2+240:4^2-3\left(17-12\right)^2\)

\(=5\cdot36+240:16-3\cdot5^2\)

=180+15-75

=180-60

=120

14: 1-2+3-4+...+99-100

=(1-2)+(3-4)+...+(99-100)

=(-1)+(-1)+...+(-1)

=-50

 Bài 3:

a: \(2^x+2^{x+1}+...+2^{x+100}=2^{101}-1\)

=>\(2^x\left(1+2+...+2^{100}\right)=2^{101}-1\)

Đặt \(A=1+2+...+2^{100}\)

=>\(2A=2+2^2+...+2^{101}\)

=>\(2A-A=2+2^2+...+2^{101}-1-2-...-2^{100}\)

=>\(A=2^{101}-1\)

\(2^x\left(1+2+...+2^{100}\right)=2^{101}-1\)

=>\(2^x\left(2^{101}-1\right)=2^{101}-1\)

=>\(2^x=1=2^0\)

=>x=0

b: p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên \(\left\{{}\begin{matrix}p⋮̸2\\p⋮̸3\end{matrix}\right.\)

p không chia hết cho 3 nên p=3k+1 hoặc p=3k+2

TH3: p=3k+1

\(\left(p-1\right)\left(p+1\right)\)

\(=\left(3k+1-1\right)\left(3k+1+1\right)\)

\(=3k\left(3k+2\right)⋮3\)(3)

TH2: p=3k+2

\(\left(p-1\right)\left(p+1\right)=\left(3k+2-1\right)\left(3k+2+1\right)\)

\(=\left(3k+1\right)\left(3k+3\right)=3\left(k+1\right)\left(3k+1\right)⋮3\)(2)

Từ (2),(3) suy ra \(\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮3\)

p không chia hết cho 2 nên p=2k+1

\(\left(p-1\right)\left(p+1\right)=\left(2k+1-1\right)\left(2k+1+1\right)\)

\(=2k\left(2k+2\right)=4k\left(k+1\right)\)

Vì k;k+1 là hai số nguyên liên tiếp

nên \(k\left(k+1\right)⋮2\)

=>\(4k\left(k+1\right)⋮4\cdot2\)

=>\(4k\left(k+1\right)⋮8\)

=>\(\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮8\)

mà \(\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮3\)

và ƯCLN(3;8)=1

nên \(\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮3\cdot8=24\)