Giả sử có một ông chủ có một số phòng của một khách sạn là vô cùng. Giả sử có vô hạn người đến thuê trọ và họ thuê hết tất cả các phòng của khách sạn. Sau đó có một vị khách khó tính đến trọ ở khách sạn và muốn trọ ở phòng số 1, thế là ông chủ ra lệnh cho người thuê trọ ở phòng số 1 phải chuyển sang phòng số 2, người ở phòng số 2 phải chuyển sang phòng số 3. Và cứ như vậy, sẽ chắc chắn phải có một người bị đuổi khỏi khách sạn nhưng vì có vô hạn phòng nên nếu cứ chuyển phòng mãi như vậy thì chắc chắn ai cũng có phòng và sẽ không có ai bị đuổi khỏi khách sạn (mâu thuẫn).

                                                                                            Nghịch lý Hilbert của Khách sạn lớn.

cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Lấy điểm M thuộc (O) sao cho góc MAB=60 và điểm C thuộc đường kính AB, kẻ CH song song với BM. Tia phân giác của góc MAB cắt đường tròn tại E và cắt CH tại F, dường thẳng MF cắt đường tròn tại N. a/ chứng minh tứ giác AFCN nội tiếp đường tròn. b/ Chứng minh góc MAF= góc FNC. Suy ra 3 điểm N, C, E thẳng hàng. C/ Tính theo r diện tích hình viên phân tạo bởi dây AE cung nhỏ AE