Gợi ý em nhé:

S= 3¹+3²+3³ = 39 chia hết cho 13

S = 3 + 3² + 3³ + 3⁴ +.......+3²⁰¹³

S = (3 + 3² + 3³) + (3⁴+3⁵+3⁶) +........+ (3²⁰¹¹ + 3²⁰¹² + 3²⁰¹³)

S = 39 + 3³( 3 + 3² + 3³)+.....+3²⁰¹⁰ ( 3 + 3² + 3³)

S =39 +  3³ . 39 + .........+ 3²⁰¹⁰. 39

S = vì 39 ⋮ 13 ⇔ s ⋮ 13 (đpcm)

5^x+2 .2 - 5^x . 11 = 164

5^x (5².2 - 11) = 164

5^x . 39 = 164

5^x . 39 = \(\overline{....5}\)  # 164

vậy pt vô nghiệm 

\(5^{x+2}.2-5^x.11=164\\ 5^x.25.2-5^x.11=164\\ 50.5^x-11.5^x=164\\39.5^x=164\\ 5^x=\dfrac{164}{39}\)

Với kiến thức ở lớp 6, ta chưa thể giải được bài toán này. 

Phương trình này sẽ có nghiệm sau khi ta mở rộng tập hợp số và học về logarit lớp 12.

Lời giải:
a. $\frac{a}{b}=\frac{3}{4}\Rightarrow \frac{a}{3}=\frac{b}{4}$

Đặt $\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=k\Rightarrow a=3k; b=4k$ 

Khi đó:
$B=\frac{2a-5b}{a-3b}=\frac{2.3k-5.4k}{3k-3.4k}=\frac{-14k}{-9k}=\frac{14}{9}$

b.

$a-b=7\Rightarrow b=a-7$. Khi đó:
$C=\frac{3a-b}{2a+7}+\frac{3b-a}{2b-7}=\frac{3a-(a-7)}{2a+7}+\frac{2b+a-7-a}{2b-7}$
$=\frac{2a+7}{2a+7}+\frac{2b-7}{2b-7}=1+1=2$

Lời giải:
ĐKXĐ: $2\leq x\leq 6$

Đặt $\sqrt{x-2}=a; \sqrt{6-x}=b(a,b\geq 0)$

$a^2+b^2=4$

PT ban đầu trở thành:
$a+b=\sqrt{12-a^2b^2}$

$\Rightarrow (a+b)^2=12-a^2b^2$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+2ab=12-a^2b^2$

$\Leftrightarrow 4+2ab=12-a^2b^2$

$\Leftrightarrow a^2b^2+2ab-8=0$

$\Leftrightarrow (ab-2)(ab+4)=0$

Do $a,b\geq 0$ nên $ab\geq 0\Rightarrow ab=2$

$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=4+2.2=8$

$\Rightarrow a+b=2\sqrt{2}$

Do $a+b=2\sqrt{2}; ab=2$ nên theo định lý Viet đảo thì:

$a,b$ là nghiệm của PT $X^2-2\sqrt{2}X+2=0$

$\Rightarrow \sqrt{x-2}=\sqrt{6-x}=\sqrt{2}$

$\Rightarrow x=4$ (tm)

- Qua C dựng đường thẳng song song với AB cắt AQ tại E.

- \(\Delta ABQ\) và \(\Delta ECQ\) có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABQ}=\widehat{ECQ}\\BQ=CQ\\\widehat{AQB}=\widehat{EQC}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta ABQ=\Delta ECQ\left(g-c-g\right)\)

\(\Rightarrow AB=CE;QA=QE\Rightarrow\)Q là trung điểm AE.

- \(\Delta ADE\) có: P là trung điểm AD, Q là trung điểm AE.

\(\Rightarrow\)PQ là đường trung bình của \(\Delta ADE\).

\(\Rightarrow PQ=\dfrac{DE}{2}\).

- Mà theo BĐT tam giác ta có: \(DE\le CD+CE\)

\(\Rightarrow PQ=\dfrac{CD+CE}{2}=\dfrac{AB+CD}{2}\)

\(\Rightarrowđpcm\)

- Dấu "=" xảy ra khi D,C,E thẳng hàng \(\Leftrightarrow\)AB//CD \(\Leftrightarrow\)ABCD là hình thang.

<=> -x² -2x = 0

<=> -x.(x+2)=0

<=> x= 0; x= -2

Lời giải:
$M=(2ab+b)^2-(b-2a)^2=(2ab+b-b+2a)(2ab+b+b-2a)$
$=(2ab+2a)(2ab+2b-2a)$

$=4a(b+1)(ab+b-a)$

$N=(3a+2)^2+2(2+3a)(1-2b)+(2b-1)^2$

$=(3a+2)^2-2(3a+2)(2b-1)+(2b-1)^2$

$=[(3a+2)-(2b-1)]^2=(3a+2-2b+1)^2=(3a-2b+3)^2$

\(2^n:64=2^6\\ 2^n:2^6=2^6\\ 2^{n-6}=2^6\\ n-6=6\\ n=12\)

Lời giải:
a.

$2x(8x-3)+4x(4x-1)=3$

$\Leftrightarrow 16x^2-6x+16x^2-4x=3$

$\Leftrightarrow 32x^2-10x-3=0$

$\Leftrightarrow (2x-1)(16x+3)=0$

$\Leftrightarrow 2x-1=0$ hoặc $16x+3=0$

$\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$ hoặc $x=\frac{-3}{16}$

b.

$x(10x+3)-2x(5x-7)=6$

$\Leftrightarrow 10x^2+3x-(10x^2-14x)=6$

$\Leftrightarrow 17x=6$

$\Leftrightarrow x=\frac{6}{17}$

Na có số quả trứng là:

      3+4= 7 ( quả )

                  Đáp số:.........

7 quả