Xếp các tam giác vuông = nhau như hình vẽ:

Ta có: \(S_{BCDE}=S_{AMPN}+4.S_{ABC}\)

\(\Rightarrow a^2=\left(c-d\right)^2+4.\frac{bc}{2}\)

\(\Leftrightarrow a^2=c^2-2.bc+b^2+2.bc\)

\(\Leftrightarrow a^2=c^2+b^2\)

P/s: Còn nhiều cách.

Đây cũng là một cách chứng minh được giới thiệu trong cuốn sách của Elisha Scott Loomis. Ann Condit nghĩ ra cách chứng minh này vào năm 1938 khi cô mới 16 tuổi và là sinh viên của trường trung học ở miền nam Ấn Độ.

Dựng hình và kiểm tra

1. Dựng đoạn thẳng AB.

2. Vẽ trung điểm D của đoạn thẳng này

3. Vẽ đường tròn bán kính DA.

4. Vẽ đoạn BC và AC , với C là một điểm nằm trên đường tròn. Như vvậy ta đã dựng được tam giác vuông ABC vuông tại C.

5. Vẽ các hình vuông trên các cạnh của tam giác vuông ABC.

6. Vẽ các trung điểm L, M, N của các cạnh phía ngoài của các hình vuông.

7. Vẽ các đoạn DL, DM, DL.

8. Vẽ đoạn FG, Vẽ tia DC, và điểm P là giao điểm cuat tia DC và đoạn FG, sau đó làm ẩn đi tia DC và hiện đoạn DP.

9. Tô màu khác nhau cho diện tích các tam giác DCF, DCG, và DBK.

Cách chứng minh này đưa ra mối liên quan giữa diện tích của các hình tam giác được tô màu với diện tích của các hình vuông trên các cạnh tam giác vuông.

Chọn menu Measure --> calculate để tính được tỉ lệ diện tích của các tam giác với các hình vuông tương ứng.

10. Đo diện tích các tam giác, và di chuyển điểm C quanh một nửa đường tròn trên đường kính AB.

Ta nhận thấy: tổng diện tích của 2 tam giác nhỏ luôn bằng diện tích của tam giác lớn hơn. Và tổng diện tích này không đổi khi điểm C chuyển động trên đường tròn. (xem hình bên dưới).
 

♥Trên mạng nha..Bn tham khảo nhé♥

\(\frac{1+3a}{12}=\frac{1+5b}{5b}=\frac{1+7a}{4b}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có :

\(\frac{1+3a}{12}=\frac{1+5b}{5b}=\frac{1+7a}{4b}=\frac{\left(1+3a\right)+\left(1+7a\right)}{12+4b}=\frac{2+10a}{12+4b}=\frac{2.\left(1+5a\right)}{2.\left(6+2b\right)}=\frac{1+5b}{6+2b}\)

\(\Rightarrow\)5b = 6 + 2b

\(\Rightarrow\)3b = 6

\(\Rightarrow\)b = 2

Thay b = 2 vào : \(\frac{1+3a}{12}=\frac{1+5a}{5b}\)ta được :

\(\frac{1+3a}{12}=\frac{1+5b}{10}\)

\(\Rightarrow\left(1+3b\right).10=12.\left(1+5b\right)\)

\(\Rightarrow10+30b=12+60b\)

\(\Rightarrow30b=-2\)

\(\Rightarrow b=\frac{-1}{15}\)

Vậy ...

a) \(\sqrt{3}+5=\sqrt{3}+\sqrt{25}>\sqrt{2}+\sqrt{11}\)

b) \(\sqrt{21}-\sqrt{5}>\sqrt{20}-\sqrt{6}\)

c) \(4+\sqrt{33}=\sqrt{16}+\sqrt{33}>\sqrt{29}+\sqrt{14}\)

d) \(\sqrt{48}+\sqrt{120}< \sqrt{49}+\sqrt{121}=7+11=18\)

CM: a) Xét t/giác ABM và t/giác ACM

có AB = AC (gt)

  BM = MC (gt)

 AM : chung

=> t/giác ABM = t/giác ACM (c.c.c)

b) Ta có: t/giác ABM = t/giác ACM (cmt)

=> góc AMB = góc AMC (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180^0\)

=> \(2\widehat{AMB}=180^0\)

=> \(\widehat{AMB}=180^0:2=90^0\)

=> AM \(\perp\)BC ( Đpcm)

c) Xét t/giác AMD và t/giác CED

có  AD = CD (gt)

 góc ADM = góc EDC (đối đỉnh)

DM = DE (gt)

=> t/giác AMD = t/giác CED (c.g.c)

=> góc MAD = góc DCE (hai góc tương ứng)

Mà góc MAD và góc DCE ở vị trí so le trong

=> AM // EC (Đpcm)

d) Ta có : t/giác MAD = t/giác DCE (cmt)

=> AM = CE (hai cạnh tương ứng)

Do AM // EC (cmt) => góc AMC + góc MCE = 180⁰ (trong cùng phía)

=> góc MCE = 180⁰ - góc AMC = 180⁰ - 90⁰ = 90⁰ (vì góc AMB = góc AMC mà góc AMB = 90⁰ => góc AMC = 90⁰)

Xét t/giác AMC và t/giác MCE

có AM = CE (cmt)

 góc AMC = góc MCE (cmt)

MC : chung

=> t/giác AMC = t/giác MCE (c.g.c)

=> ME = AC (hai cạnh tương ứng)

mà MD = DE = ME/2

hay AC/2 = MD (Đpcm)