Đặt Q là thương của phép chia . Vì đây là phép chia hết nên ta có phương trình

5x⁴+5x³+x²+11x+a = (x²+x+b)Q . Mà vế trái là đa thức bậc 4 nên khi chia cho đa thức bậc 2 thì thương có dạng Q = mx²+nx+h 

( với m,n,h là hệ số của đa thức )

=>  5x⁴+5x³+x²+11x+a = (x²+x+b)(mx²+nx+h)

<=>5x⁴+5x³+x²+11x+a = mx⁴+ nx³ + hx² + mx³ + nx² + hx + bmx² + bnx + bh

                                   = mx⁴ + (m+n)x³ + (h+n+bm)x² + (h+bn)x + bh

Mà theo nguyên tắc hai vế bằng nhau thì hệ số của bậc nào bằng hệ số bậc cùng bậc bên vế kia .

=> m = 5 

     m+n = 5 => n = 0

     h+bn = 11 => h = 11

     h+n+bm = 1 => b = -2

     bh = a = -22

Vậy a = -22 ; b = -2 ; Q = 5x²+11

                                                         x⁴-30x²+31x-30 = 0 

<=> x⁴ + ( x³ - x³ ) + ( x² - x² - 30x² ) + ( 30x + x ) -30 = 0

<=> ( x⁴ + x³ - 30x² ) + ( -x³ - x² + 30x ) + ( x² + x - 30 ) =0

<=> x².( x² + x - 30 ) - x.( x² + x - 30 ) + ( x² + x - 30 )  = 0

<=>                       ( x² + x - 30 )( x² - x + 1 )               = 0 

<=>                       ( x² + x - 30 )( x - 5 )( x + 6 )           = 0 

Vì  x² + x - 30 =  x² + x + \(\frac{1}{4}\) - \(\frac{121}{4}\) = ( x + \(\frac{1}{2}\) )² - \(\frac{121}{4}\) \(\ge\)- \(\frac{121}{4}\) 

=> x - 5 = 0 hoặc x + 6 = 0 

=>      x = 5 hoặc      x = -6

Vậy tập nghiệm S = { -6 ; 5 }

xem lại đề; x = 1 -> đề sai

Đề bài có lẽ bị sai , nếu thử x = 5 , y = 7 , z = 8 

Đặt \(f\left(x\right)=x^3+a^2x^2-ax-6\)

Áp dụng định lý Bezout:

\(f\left(x\right)=x^3+a^2x^2-ax-6⋮x-1\Leftrightarrow f\left(1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow1+a^2-a-6=0\Leftrightarrow a^2-a-5=0\)

\(\Leftrightarrow a^2-a=5\Leftrightarrow a^2-a+\frac{1}{4}=\frac{21}{4}\)

\(\Leftrightarrow\left(a-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{21}{4}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=\frac{\sqrt{21}}{2}+\frac{1}{2}\\a=\frac{-\sqrt{21}}{2}+\frac{1}{2}\end{cases}}\)

Vậy \(\orbr{\begin{cases}a=\frac{\sqrt{21}}{2}+\frac{1}{2}\\a=\frac{-\sqrt{21}}{2}+\frac{1}{2}\end{cases}}\)thì \(x^3+a^2x^2-ax-6⋮x-1\)

= x⁵-x⁴+x³-x³-1=x²(x²-x+1) -(x+1)(x^2 -x+1)=(x²-x-1)(x²-x-1)

= x⁵ -x⁴+x³-x³-1=x³(x²-x+1)-(x+1)(x^2-x+1)=(x²-x+1)(x³-x-1)

Ta chứng minh \(x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)

\(\Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left[\left(x+\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}\right]\ge0\)(luôn đúng)

Áp dụng vào bài toán ta có:

\(x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)\(\Rightarrow2\left(x^4+y^4\right)\ge x^4+y^4+x^3y+xy^3\)\(=\left(x^3+y^3\right)\left(x+y\right)\)

\(\Rightarrow\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\ge\frac{x+y}{2}\).Tương tự ta cũng có:

\(\frac{y^4+z^4}{y^3+z^3}\ge\frac{y+z}{2};\frac{z^4+x^4}{z^3+x^3}\ge\frac{z+x}{2}\)

Cộng theo vế ta có: \(VT\ge\frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{z+x}{2}=x+y+z=1\)

Dấu = khi \(x=y=z=\frac{2008}{3}\)