áp dụng bdt cô si ta có:

x/yz+y/xz>=1/z

y/xz+z/xy>=1/x

z/xy+x/yz>=1/y

suy ra 2(x/yz+y/xz+z/xy)>=2(1/z+1/x+1/y)

lại có: 1/x+1/y>=4/x+y, 1/y+1/z>=4/y+z,1/z+1/x>=4/z+x 

suy ra 2(1/z+1/x+1/y)>=4/x+y+4/y+z+4/z+x (từ công thức 1/a+1/b>=4/a+b, bạn biến đổi tương đương là ra)

suy ra  2(x/yz+y/xz+z/xy)>=4/x+y+4/y+z+4/z+x(1)

ta có: 2x²+2y²>=(x+y)² (bạn biến đổi tương đương là ra công thức này)

x²+y²/2>=(x+y)²/4

tương tự: y²+z²/2>=(y+z)²/4, z²+x²/2>=(x+z)²/4

suy ra x²+y²+z²>=(x+y)²/4+(y+z)²/4+(x+z)²/4 (2)

cộng (1),(2) ta có:

x²+y²+z²+ 2(x/yz+y/xz+z/xy)>=(x+y)²/4+(y+z)²/4+(x+z)²/4+4/x+y+4/y+z+4/z+x

x²+y²+z²+ 2(x/yz+y/xz+z/xy)>=((x+y)²/4+4/x+y)+((z+y)²/4+4/z+y)+((x+z)²/4+4/x+z)

ta có:(x+y)²/4+4/x+y=(x+y)²/4-2(a+b)/2+1 +a+b+4/a+b-1=(x+y/2-1)²+a+b+4/a+b-1>=0+\(2\sqrt{\frac{\left(a+b\right)4}{\left(a+b\right)}}-1=3\)

suy ra (x+y)²/4+4/x+y>=3

tương tự (z+y)²/4+4/z+y>=3, (x+z)²/4+4/x+z>=3

suy ra x²+y²+z²+ 2(x/yz+y/xz+z/xy)>=3+3+3=9

suy ra x²/2+y²/2+z²/2+ x/yz+y/xz+z/xy>=9/2

a) Vì AP,AQ là tiếp tuyến của (O)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}OP\perp AP\\OQ\perp AQ\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\widehat{OPA}=90^0\\\widehat{OQA}=90^0\end{cases}}}\)

Xét tứ giác APOQ có: 

\(\widehat{OPA}+\widehat{OQA}=180^0\)

Mà 2 góc này ở vị trí đối nhau trong tứ giác APOQ

=> APOQ nội tiếp

=> A,P,O,Q cùng thuộc 1 đường tròn

b) Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác APO vuông tại P ta được:

\(AP^2+OP^2=OA^2\)

\(\Rightarrow AP=\sqrt{OA^2-OP^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4\)

\(\tan15^o=\tan\left(45^o-30^o\right)\)

\(=\frac{\tan45^o-\tan30^o}{1+\tan45^o.\tan30^o}\)

\(=\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}{1+1.\frac{\sqrt{3}}{3}}\)

\(=\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}\)

Đặt \(2^a=x;2^b=y;2^c=z\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}8^a=x^3;8^b=y^3;8^c=z^3\\xyz=2^{a+b+c}=1\end{cases}}\)

Ta có: \(x^3+1+1\ge3\sqrt[3]{1.1.x^3}=3x\)

CMTT \(y^3+1+1\ge3y\);\(z^3+1+1\ge3z\)

\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3\ge3\left(x+y+z-2\right)\)

\(\ge x+y+z+2\left(x+y+z-3\right)\)

\(\ge x+y+z+2\left(3\sqrt[3]{xyz}-3\right)\)

\(\ge x+y+z\)( vì xyz =1)

=> đpcm 

Gọi số học sinh lúc đầu của nhóm đó là \(x\)(học sinh) \(x\inℕ^∗\).

Mỗi bạn lúc đầu trồng số cây là: \(\frac{120}{x}\)(cây) 

Số học sinh lúc sau là: \(x+3\)(học sinh) 

Mỗi bạn trồng số cây là: \(\frac{120}{x}-2\)(cây).

Ta có phương trình: \(\left(x+3\right)\left(\frac{120}{x}-2\right)=120\)

\(\Rightarrow120x+360-2x^2-6x=120x\)

\(\Leftrightarrow-2x^2-6x+360=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=12\left(tm\right)\\x=-15\left(l\right)\end{cases}}\)

xét bđt sau \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2=a+b+2\sqrt{ab}\ge\left(\sqrt{a+b}\right)^2\)

\(2\sqrt{ab}\ge0\)( luôn đúng)

\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge\sqrt{a+b}\)

\(a,A=\sqrt{x-2}+\sqrt{6-x}\)

\(A=\sqrt{x-2}+\sqrt{6-x}\ge\sqrt{x-2+6-x}=\sqrt{4}=2\)

dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\orbr{\begin{cases}x=2\\x=6\end{cases}}\)

\(< =>MIN:A=2\)

áp dụng bđt bunhia cốp - xki với bộ số \(\left(\sqrt{x-2};\sqrt{6-x}\right);\left(1;1\right)\)

\(A^2=\left(\sqrt{x-2}+\sqrt{6-x}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(x-2+6-x\right)\)

\(A^2\le2.4\)

\(A\le2\sqrt{2}\)

dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{\sqrt{x-2}}{1}=\frac{\sqrt{6-x}}{1}\)

\(\sqrt{x-2}=\sqrt{6-x}\)

\(x=4\)

\(MAX:A=2\sqrt{2}\)

Đk: x \(\ge\)0 và x \(\ne\)1

Ta có: \(P=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{3}{\sqrt{x}+1}-\frac{6\sqrt{x}-4}{x-1}\)

\(P=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)+3\left(\sqrt{x}-1\right)-6\sqrt{x}+4}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(P=\frac{x+\sqrt{x}+3\sqrt{x}-3-6\sqrt{x}+4}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(P=\frac{x-2\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\)

b) Với x \(\ge\)0 và x \(\ne\)1 (2)

Ta có: \(P< \frac{1}{2}\) <=> \(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}< \frac{1}{2}\) <=> \(2\sqrt{x}-2< \sqrt{x}+1\)

<=> \(\sqrt{x}< 3\) <=> x < 9 (1)

Từ (1) và (2) => \(0\le x< 9\) và x \(\ne\)1