Lý thuyết nhị thức Newton và tam giác Pascal là gì

tht là lp 7 kh v

📘 1. Nhị thức Newton là gì?

Nhị thức Newton là một công thức dùng để khai triển lũy thừa của một tổng dạng \(\left(\right. a + b \left.\right)^{n}\), trong đó \(n\) là số tự nhiên.

✅ Công thức nhị thức Newton:

\(\left(\right. a + b \left.\right)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} \left(\right. \frac{n}{k} \left.\right) a^{n - k} b^{k}\)

Trong đó:

• \(\left(\right. \frac{n}{k} \left.\right)\) là hệ số nhị thức, đọc là "n chọn k", được tính bằng:

\(\left(\right. \frac{n}{k} \left.\right) = \frac{n !}{k ! \left(\right. n - k \left.\right) !}\)

• \(a , b\) là các biểu thức hoặc số thực.
• \(n\) là số mũ nguyên không âm (0, 1, 2, ...)

🎯 Ví dụ:

Khai triển \(\left(\right. a + b \left.\right)^{3}\) bằng nhị thức Newton:

\(\left(\right. a + b \left.\right)^{3} = \left(\right. \frac{3}{0} \left.\right) a^{3} b^{0} + \left(\right. \frac{3}{1} \left.\right) a^{2} b^{1} + \left(\right. \frac{3}{2} \left.\right) a^{1} b^{2} + \left(\right. \frac{3}{3} \left.\right) a^{0} b^{3}\) \(= 1 a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 b^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}\)

🟨 2. Tam giác Pascal là gì?

Tam giác Pascal là một bảng sắp xếp các hệ số nhị thức \(\left(\right. \frac{n}{k} \left.\right)\) theo hình tam giác. Mỗi số trong tam giác là tổng của hai số phía trên nó.

🔻 Cấu trúc của tam giác Pascal:

        1               ← hàng 0
       1 1             ← hàng 1
      1 2 1            ← hàng 2
     1 3 3 1           ← hàng 3
    1 4 6 4 1          ← hàng 4
   1 5 10 10 5 1       ← hàng 5
  ...

• Mỗi hàng ứng với khai triển của \(\left(\right. a + b \left.\right)^{n}\)
• Hệ số của \(\left(\right. a + b \left.\right)^{n}\) là các số ở hàng thứ \(n\) của tam giác Pascal.

🎯 Ví dụ ứng dụng:

Dùng tam giác Pascal để khai triển \(\left(\right. x + y \left.\right)^{4}\):

→ Hàng thứ 4 là: 1 4 6 4 1

\(\left(\right. x + y \left.\right)^{4} = 1 x^{4} + 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} + 4 x y^{3} + 1 y^{4}\)

✅ Tóm tắt dễ nhớ:

Giải:

Trung bình cộng của 100 số tự nhiên liên tiếp đầu tiên là trung bình cộng của số thứ nhất và số thứ một trăm của dãy số gồm 100 số tự nhiên liên tiếp đầu tiên.

Số thứ tự nhiên thứ nhất là: 0

Số tự nhiên thứ 100 là:

(100 - 1) x 1 + 0 = 99

Trung bình cộng của 100 số tự nhiên liên tiếp đầu tiên là:

(0 + 99): 2 = \(\frac{99}{2}\)

Đáp số: 99/2

Giải:

+(3n\(^2\) + 2n + 2) ⋮ (3n + 1)

3.(3n\(^2\) + 2n + 2) ⋮ (3n + 1)

(9n\(^2+6n+6)\) ⋮ (3n + 1)

[(9n\(^2\) + 3n) + (3n + 1) + 5] ⋮ (3n+ 1)

[3n(3n + 1) + (3n + 1) + 5] ⋮ (3n + 1)

5 ⋮ (3n + 1)

(3n + 1) ∈ Ư(5) = {-5; -1; 1; 5}

Lập bảng ta có:

Theo bảng trên ta có: n = 0

Vậy n = 0

Ta có: \(3n^2+2n+2\) ⋮3n+1

=>\(3n^2+n+n+2\) ⋮3n+1

=>n+2⋮3n+1

=>3n+6⋮3n+1

=>3n+1+5⋮3n+1

=>5⋮3n+1

=>3n+1∈{1;-1;5;-5}

=>3n∈{0;-2;4;-6}

=>n∈{0;-2/3;4/3;-2}

mà n là số tự nhiên

nên n=0

24 x 6 = 144

24 x 6=144

\(\frac42+\frac43\)

\(=2+\frac43\)

\(=\frac63+\frac43\)

\(=\frac{6+4}{3}=\frac{10}{3}\)

\(\frac42+\frac43=2+\frac43=\frac63+\frac43=\frac{10}{3}\)

Đặt \(A=\frac54+\frac58+\frac{5}{16}+\frac{5}{32}+\frac{5}{64}\)

=>\(A\times2=\frac52+\frac54+\frac58+\frac{5}{16}+\frac{5}{32}\)

=>\(2\times A-A=\frac52+\frac54+\frac58+\frac{5}{16}+\frac{5}{32}-\frac54-\frac58-\frac{5}{16}-\frac{5}{32}-\frac{5}{64}\)

=>\(A=\frac52-\frac{5}{64}=\frac{160}{64}-\frac{5}{64}=\frac{155}{64}\)

Ta có: \(1+\frac54+\frac58+\frac{5}{16}+\frac{5}{32}+\frac{5}{64}\)

\(=1+\frac{155}{64}=\frac{64+155}{64}=\frac{219}{64}\)

1 + 5/4 + 5/8 + 5/32 + 5/64 = 37/64 = 199/ 64

Đây bạn nhé!

5\(^{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}\) = 1

5\(^{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}\) = 5\(^0\)

(\(x-2\))(\(x-3\)) = 0

\(\left[\begin{array}{l}x-2=0\\ x-3=0\end{array}\right.\)

\(\left[\begin{array}{l}x=2\\ x=3\end{array}\right.\)

Vậy \(x\in\) {2; 3}

2;3

5 sao ☆☆☆☆☆

sao của bạn chưa có màu vàng.

Olm chào em, cảm ơn đánh giá của em về chất lượng bài giảng của Olm, cảm ơn em đã đồng hành cùng Olm trên hành trình tri thức. Chúc em học tập hiệu quả và vui vẻ cùng Olm em nhé!

Giải:

a; Chiều rộng của ao là:

50 x 60 : 100 = 30(m)

Chu vi của cái ao là:

(50 + 30) x 2 = 160(m)

b; Diện tích ao là:

50 x 30 = 1500(m\(^2\))

Số ki-lô-gam cá giống cần thả là:

0,15 x 1500 = 225(kg)

Số tiền cần mua cá giống là:

40 000 x 225 = 9 000 000 (đồng)

Đáp số: a; 160m

b; 9 000 000 đồng

a)160 m

b)9000000