Xét tổng : 1+3+...+149+151

Số số hạng dãy trên :

  (151-1):2+1=76(số)

Tổng dãy trên :

   (151+1)x76:2=5738

Lại có : (-1)+(-3)+...+(-149)+(-151)

= -(1+3+...+149+151)

= -5738

ta có, dãy số trên có số số hạng là:

(151 - 1) : 2 + 1 = 76 (số hạng)

tổng các dãy số trên là: (vì là phép cộng của các số âm nên ta bỏ dấu âm rồi tính như bình thường, kết quả nhận lại thêm vào dấu âm.)

(151 + 1) x 76 : 2 = 5776

=> (-1) + (-3) +....+ (-149) + (-151) = (-5776)

Vì 1 chỉ ⋮ 1 nên:

x⁹⁰ =1

x    = 1

Vậy x=1

không biết

 Ta thấy \(72=2^3.3^2\) nên a, b có dạng \(\left\{{}\begin{matrix}a=2^x3^y\\b=2^z.3^t\end{matrix}\right.\) với \(x,y,z,t\inℕ\) và \(max\left\{x,z\right\}=3;max\left\{y,t\right\}=2\). 

 Theo đề bài, ta có \(2^x.3^y+2^z.3^t=42\)

 \(\Leftrightarrow2^{x-1}.3^{y-1}+2^{z-1}3^{t-1}=7\)   (*), do đó \(x,y,z,t\ge1\)

 TH1: \(x\ge z,y\le t\). Khi đó \(x=3,t=2\). (*) thành:

 \(4.3^{y-1}+3.2^{z-1}=7\) \(\Leftrightarrow y=z=1\)

 Vậy \(\left\{{}\begin{matrix}a=24\\b=18\end{matrix}\right.\) (nhận)

 TH2: KMTQ thì giả sử \(x\ge z,y\ge t\). Khi đó \(x=3,z=2\). (*) thành 

 \(4.3^{y-1}+2.3^{t-1}=7\), điều này là vô lí.

 Vậy \(\left(a,b\right)=\left(24,18\right)\) hay \(\left(18,24\right)\) là cặp số duy nhất thỏa yêu cầu bài toán.

Ta thấy \(87=1.87=3.29\) nên ta xét 2TH

 TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}S\left(n\right)=1\\S\left(n+1\right)=87\end{matrix}\right.\)

 Vì \(S\left(n\right)=1\) nên \(n=100...00\), do đó \(n+1=100...01\) nên \(S\left(n+1\right)=2\), mâu thuẫn.

 TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}S\left(n\right)=87\\S\left(n+1\right)=1\end{matrix}\right.\)

 Vì \(S\left(n+1\right)=1\) nên \(n+1=100...00\), do đó \(n=999...99\) chia hết cho 9, dẫn đến \(S\left(n\right)⋮9\), mâu thuẫn với \(S\left(n\right)=87\)

 TH3: \(\left\{{}\begin{matrix}S\left(n\right)=3\\S\left(n+1\right)=29\end{matrix}\right.\)

Vì \(S\left(n\right)=3\) nên \(n⋮3\) \(\Rightarrow n+1\) chia 3 dư 1 \(\Rightarrow S\left(n+1\right)\) chia 3 dư 1. Thế nhưng 29 chia 3 dư 2, vô lý.

 TH4: \(\left\{{}\begin{matrix}S\left(n\right)=29\\S\left(n+1\right)=3\end{matrix}\right.\) . Ta lại xét các TH:

   TH4.1: \(n+1=10...010...01\) hoặc \(200...01\) hoặc \(100...2\). Khi đó trong tất cả các TH thì ta đều có \(S\left(n\right)=2\), không thỏa mãn.

   TH4.2: \(n+1=10...010...010...0\) hoặc \(200...0100...0\) hoặc \(100...020...0\) hoặc \(300...00\). Khi đó trong tất cả các TH thì ta đều có\(S\left(n\right)=2+9m\left(m\inℕ\right)\) với m là số chữ số 9 có trong n. Để chọn được số nhỏ nhất, ta chỉ việc lược bỏ tất cả các số 0 ở giữa và cho \(m=3\) để có \(S\left(n\right)=29\). Vậy, ta tìm được \(n=11999\) (thỏa mãn)

 Vậy, số cần tìm là 11999.

Lời giải:

Đặt \(A=\frac{1}{7^2}-\frac{1}{7^4}+....+\frac{1}{7^{4n-2}}-\frac{1}{7^{4n}}+...+\frac{1}{7^{98}}-\frac{1}{7^{100}}\)

\(7^2A=1-\frac{1}{7^2}+....+\frac{1}{7^{4n-4}}-\frac{1}{7^{4n-2}}+...+\frac{1}{7^{96}}-\frac{1}{7^{98}}\)

\(\Rightarrow A+7^2A=1-\frac{1}{7^{100}}\Rightarrow 50A=1-\frac{1}{7^{100}}<1\)

$\Rightarrow A< \frac{1}{50}$

Gọi d là UC(n+7; n+8) nên

\(n+7⋮d\)

\(n+8⋮d\)

\(\Rightarrow n+8-\left(n+7\right)=1⋮d\Rightarrow d=1\)

=> (n+7) và (n+8) là 2 số nguyên tố cùng nhau

a/

\(2^{1050}=\left(2^2\right)^{525}=4^{525}< 5^{525}< 5^{540}\)

b/

\(2^{161}>2^{160}=\left(2^4\right)^{40}=16^{40}>13^{40}\)

c/

\(17^{14}>16^{14}=\left(2^4\right)^{14}=2^{56}>2^{55}=\left(2^5\right)^{11}=32^{11}>31^{11}\)

Bạn có thể ghi cho tiết đề bài và bạn muốn làm gì cho bài đó được không?