a) Ta có tứ giác $ABCD$ là hình bình hành

$\Rightarrow AB=CD$ và $AB//CD$

Mà $E$ và $F$ là trung điểm của $AB$ và $CD$

$\frac{AB}{2}=\frac{CD}{2}=\Rightarrow BE=DF$

Xét tứ giác $DEBF$ có $BE//DF$ (do $AB//CD$) và $BE=DF$

$\Rightarrow$  Tứ giác DEBF là hình bình hành.

b) Gọi $AC\cap BD$ tại $O$

Ta có tứ giác $ABCD$ là hình bình hành, hai đường chéo hình bình hành cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

$\Rightarrow O$ là trung điểm của $AC$ và $BD$

Mà tứ giác $DEBF$ là hình bình hành nên $O$ là trung điểm của $BD$ thì $O$ cũng là trung điểm của $EF$

$\Rightarrow AC;BD;EF$ cùng đồng quy tại $O$.

c) Ta có $O$ là trung điểm của $EF$

Xét $\Delta DOM$ và $\Delta BON$ có:

$\widehat{DOM}=\widehat{BON}$ (đối đỉnh)

$OD=OB$

$\widehat{MDO}=\widehat{NBO}$ (hai góc ở vị trí so le trong do $DE//BF$)

$\Rightarrow \Delta DOM=\Delta BON$ (g-c-g)

$\Rightarrow OM=ON$

Xét tứ giác $EMFN$ có $O$ là trung điểm của hai đường chéo $MN$ và $EF$

$\Rightarrow$  Tứ giác $EMFN$ là hình bình hành.

A B C D E I K G

Xét \(\Delta ABC\) ta có:

\(E\) là trung điểm của AB

\(D\) là trung điểm của AC

\(\Rightarrow\) ED là đương trung bình của \(\Delta ABC\) 

\(\Rightarrow ED=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}.4=2cm\)

b.

Theo giả thiết ta có:

ED và IK lần lượt là đường trung bình của tam giác ABC và tam giác GBC.

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}DE//BC\\IK//BC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow ED//IK\)

c.

Xét từ giác EDKI ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}ED//IK\\ED=IK=\dfrac{1}{2}BC=2cm\end{matrix}\right.\) 

Tứ giác EDKI có 1 cặp cạnh đối song song và bằng nhau, do đó từ giác EDKI là hình bình hành.

a) Tứ giác AIDK là hình chữ nhật

b) M đối xứng với N qua A

c) Để CM đi qua trung điểm của IK thì D là trung điểm cạnh BC

Giải thích các bước giải:

a)

M đối xứng với D qua AB (gt)

I là giao điểm của MD với AB (gt)

$\to MI=ID,MD\perp AB$ tại I

Tương tự: $NK=KD,ND\perp AC$ tại K

Xet tứ giác AIDK:

$\widehat{IAK}={90}^o\left(AB\perp AC\right)\widehat{AID}={90}^o\left(DI\perp AB\right)\widehat{AKD}={90}^o\left(DK\perp AC\right)$

$\to$ Tứ giác AIDK là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông)

$\to$ 2 đường chéo AD và IK cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là điểm O

$\to ID//AK,ID=AK;IA//DK,IA=DK$

b)

Xét tứ giác MIKA:

$MI//AK\left(ID//AK\right)MI=AK(=ID)$

$\to$ Tứ giác MIKA là hình bình hành (2 cạnh đối song song và bằng nhau)

$\to MA//IK,MA=IK$

Xét tứ giác AIKN:

$IA//KN\left(IA//DK\right)IA=KN(=DK)$

$\to$ Tứ giác AIKN là hình bình hành (2 cạnh đối song song và bằng nhau)

$\to AN//IK,AN=IK$

$\to$ M, A, N thẳng hàng

$\to MA=AN$

$\to$ M đối xứng với N qua A

c)

Để CM đi qua trung điểm của IK

Hay CM đi qua điểm O

$\to$ CM cắt AD tại trung điểm O của mỗi đường

$\to$ Tứ giác CAMD là hình bình hành (2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

$\to MD=AC\to 2ID=AC\to ID=\frac{1}{2}AC$

Mà $ID//AC\left(ID//AK\right)$

$\to$ ID là đường trung bình của $△ABC$

$\to$ D là trung điểm của BC

Vậy để CM đi qua trung điểm của IK thì D là trung điểm cạnh BC

a) ta có M, E lần lượt là trung điểm AB, AC => ME là đường trung bình của tam giác ABC => ME // BC (tính chất đường trung bình trong tam giác)

b) ME là đường trung bình của tam giác ABC (chminh câu a) => ME // BC và ME = 1/2 BC = PC (do P là trung điểm BC nên BP = PC = BC / 2)

tứ giác MECP có 2 cạnh đối diện ME song song và bằng cạnh CP => MECP là hình bình hành.

c) kéo dài AO (hay AI) cắt BC tại N

trong tam giác ANC ta có OE // NC (ME // BC)

và E là trung điểm AC (giả thuyết)

=> OE là đường trung bình tam giác ANC (định lí đường trung bình trong tam giác)

=> O là trung điểm của AN => AO = ON (1)

I là giao điểm 2 đường chéo MC và EP của hình bình hành MECP => EI = IP => tam giác OEI = tam giác NPI (g-c-g) => OI = NI (cạnh tương ứng) mà 3 điểm ONI thẳng hàng => I là trung điểm ON => ON = 2.OI (2)

Thế (2) vào (1) ta được AO = 2.OI (đpcm)

~chúc e học tốt!~

a.

\(x^2\left(x+5\right)-9x=45\\ \Leftrightarrow x^2\left(x+5\right)-9\left(x+5\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(x+5\right)\left(x^2-9\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(x+5\right)\left(x-3\right)\left(x+3\right)=0\\ \)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+5=0\\x+3=0\\x-3=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-5\\x=-3\\x=3\end{matrix}\right.\)

b.

\(9\left(5-x\right)+x^2-10x=-25\\ \Leftrightarrow9\left(5-x\right)+x^2-10x+25=0\\ \Leftrightarrow9\left(5-x\right)+\left(x-5\right)^2=0\\ \Leftrightarrow9\left(5-x\right)+\left(5-x\right)^2=0\\ \Leftrightarrow\left(5-x\right)\left(9+5-x\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(5-x\right)\left(14-x\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}5-x=0\\14-x=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=5\\x=14\end{matrix}\right.\)

Các bài còn lại đều đặt thừa số chung tương tự như 2 câu trên.

   x⁴ - x³ - x + 1

= x³.(x-1) - ( x -1)

= (x-1).(x³ -1)

=(x-1)(x-1)(x²+x+1)

9.(x-5)²  -( x-7)²

={ 3.(x-5)}² - (x-7)²

= [ 3.(x-5) - x + 7][3.(x-5) + x-7]

= (3x -15 - x + 7)( 3x - 15 + x -7)

= (2x -8)(4x - 22)

    (x² + 2x - y² + 1) : (x + y + 1)

= { (x² + 2x + 1) -y²) : (x +y +1)

= { (x +1)² -y² } : (x + y+1)

= ( x + 1 - y)( x +1+y) : (x+ 1+y)

= x + 1 - y

Ta có:

\(\left(a-b\right)^2\ge0\\ \Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\\ \Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)

Tương tự ta cũng có:

\(b^2+c^2\ge2bc\) . Dấu "=" xảy ra khi \(b=c\)

\(c^2+a^2\ge2ca\) . Dấu "=" xảy ra khi \(c=a\)

Suy ra: 

\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\\ \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\) . đpcm