Câu 1. Chứng minh √7 là số vô tỉ.Câu 2.a) Chứng minh: (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2)b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki: (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2)Câu 3. Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = x2 + y2.Câu 4.a) Cho a ≥ 0, b ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy:

b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab.Câu 5. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = a3 + b3.Câu 6. Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: N = a + b.Câu 7. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh: a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)Câu 8. Tìm liên hệ giữa các số a và b biết rằng: |a + b| > |a – b|Câu 9.a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4ab) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8Câu 10. Chứng minh các bất đẳng thức:a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2)b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)Câu 11. Tìm các giá trị của x sao cho:a) |2x – 3| = |1 – x|b) x2 – 4x ≤ 5c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 1.Câu 12. Tìm các số a, b, c, d biết rằng: a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d)Câu 13. Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001. Với giá trị nào của a và b thì M đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Câu 14. Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + 3. Chứng minh rằng giá trị nhỏ nhất của P bằng 0.Câu 15. Chứng minh rằng không có giá trị nào của x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau:x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = 0Câu 16. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

\(\text{Giải thích các bước giải:}\)

a. đồ thị của nó đi qua điểm A(3;12)
=> 12 = a.3^2
<=> 9a = 12
<=> a = 4/3
b. đồ thị của nó đi qua điểm B (-2;3)
=> 3 = a.(-2)^2
<=> 4a = 3
<=> a = 3/4

\(\text{Áp dụng đồ thị hàm số }\)\(y=ax^2\)\(\text{để giải bài này bạn nhé}\)

\(\text{a. Đồ thị hàm số}\)\(y=ax^2\)\(\text{đi qua điểm}\)\(A(3;12)\) \(\text{nên tọa độ điểm}\)\(A\)\(\text{nghiệm đúng phương trình hàm số.}\)

\(\text{Ta có : }\)\(12=a.3^2\Leftrightarrow a=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}\)

\(\text{Vậy hàm số đã cho là }\) \(y=(\frac{4}{3})x^2\)

\(\text{b. Đồ thị hàm số }\) \(y=ax^2\)\(\text{ đi qua điểm}\)\(B(-2;3)\)\(\text{nên tọa độ điểm }\)\(B\)\(\text{nghiệm đúng phương trình}\)\(\text{hàm số.}\)

\(\text{Ta có : }\)\(:3=a.(-2)^2\Leftrightarrow a=\frac{3}{4}\)

\(\text{Vậy hàm số đã cho là}\)\(y=(\frac{3}{4})x^2\)

Điểm A thuộc đồ thị do : \(0.9=0.1\times3^2\left(\text{ thỏa mãn phương trình }y=0,1\times x^2\right)\)

Điểm B thuộc đồ thị do : \(2.5=0.1\times\left(-5\right)^2\left(\text{ thỏa mãn phương trình }y=0,1\times x^2\right)\)

Điểm C không thuộc đồ thị do : \(1\ne0.1\times\left(-10\right)^2\)

\(\text{ *Thay hoành độ điểm}\)\(A\)\(\text{vào phương trình hàm số :}\)

\(y=0,1.3^2=0,9=Y\text{A}\)

\(\text{Vậy điểm}\)\(A(3;0,9)\)\(\text{thuộc đồ thị hàm số.}\)

\(\text{*Thay hoành độ điểm }\)\(B\)\(\text{vào phương trình hàm số :}\)

\(y=0,1.(-5)^2=2,5=Y\text{B}\)

\(\text{Vậy điểm}\)\(B(-5;2,5)\)\(\text{thuộc đồ thị hàm số.}\)

\(\text{*Thay hoành độ điểm}\)\(C\)\(\text{vào phương trình hàm số :}\)

\(y=0,1.(-10)^2=10\ne\text{ yC}\)

\(\text{Vậy điểm}\)\(C(-10;1)\)\(\text{ không thuộc đồ thị hàm số.}\)

\(A=\sqrt{x^2-4x+25}=\sqrt{\left(x-2\right)^2+21}\)

Ta có :   \(\left(x-2\right)^2\ge0\) =>  \(\left(x-2\right)^2+21\ge21\left(\forall x\right)\) => \(\sqrt{\left(x-2\right)^2+21}\ge\sqrt{21}\left(\forall x\right)\)                 

Dấu " = "  xảy ra   \(\Leftrightarrow\)   \(\sqrt{\left(x-2\right)^2}=0\)            

                              \(\Leftrightarrow\)  \(x-2=0\)                  

                              \(\Leftrightarrow\)  x  =  2 

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là :  \(\sqrt{21}\)      khi x  =  2

\(B=\sqrt{x^2-6x+30}=\sqrt{\left(x-3\right)^2+21}\)      

Vì   \(\sqrt{\left(x-3\right)^2}\ge0\left(\forall x\right)\)=> \(\sqrt{\left(x-3\right)^2+21}\ge\sqrt{21}\left(\forall x\right)\)                  

Dấu "  =  "  xảy ra  \(\Leftrightarrow\)   \(\sqrt{\left(x-3\right)^2}=0\)                          

                                \(\Leftrightarrow\)  \(x-3=0\)                      

                                \(\Leftrightarrow\) \(x=3\)                             

Vậy giá trị nhỏ nhất của B là :  \(\sqrt{21}\)  khi x  =  3

\(D=\sqrt{x^2-4x+7}+\sqrt{2}=\sqrt{\left(x-2\right)^2+3}+\sqrt{2}\)

Vì  

ta có 

\(A=\frac{1}{\sqrt{x-1}-\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x-1}+\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x^3}-x}{\sqrt{x}-1}=\frac{\sqrt{x-1}+\sqrt{x}+\sqrt{x-1}-x}{x-1-x}+\frac{x\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}-1}\)

\(=2\sqrt{x-1}+x\)

Xét tg vuông ABH

\(BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{18^2-14,4^2}=10,8m\)

Xét tg vuông ABD

\(AB^2=BH.BD\)(Trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

\(\Rightarrow BD=\frac{AB^2}{BH}=\frac{18^2}{10,8}=30m\)

Ta có

\(AD=\sqrt{BD^2-AB^2}=\sqrt{30^2-18^2}=24m\)

2x+15=10-3x

=>  5x = -5

=>  x  =  -1