Lời giải:

$\Delta' (*) = 4^2-8(m^2+1)=8-8m^2$

Để pt có 2 nghiệm $x_1,x_2$ thì:

$\Delta'(*) = 8-8m^2\geq 0\Leftrightarrow 1-m^2\geq 0$

$\Leftrightarrow -1\leq m\leq 1$

Áp dụng định lý Viet:

$x_1+x_2=1$

$x_1x_2=\frac{m^2+1}{8}$
Khi đó:

$x_1^4-x_2^4=x_1^3-x_2^3$
$\Leftrightarrow (x_1^2-x_2^2)(x_1^2+x_2^2)=(x_1-x_2)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2)$

$\Leftrightarrow (x_1-x_2)[(x_1+x_2)(x_1^2+x_2^2)-(x_1^2+x_1x_2+x_2^2)]=0$

$\Leftrightarrow (x_1-x_2)[1(x_1^2+x_2^2)-(x_1^2+x_1x_2+x_2^2)]=0$

$\Leftrightarrow (x_1-x_2)(-x_1x_2)=0$

$\Leftrightarrow (x_1-x_2).\frac{-(m^2+1)}{8}=0$

$\Leftrightarrow x_1-x_2=0$ (do $m^2+1\geq 1>0$ với mọi $m$ nên số này khác 0)

$\Leftrightarrow x_1=x_2$
Kết hợp $x_1+x_2=1$

$\Rightarrow x_1=x_2=\frac{1}{2}$

$\frac{m^2+1}{8}=x_1x_2=\frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow m^2+1=2$

$\Leftrightarrow m^2=1\Leftrightarrow m=\pm 1$ (tm)

Lời giải:

$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{18^2+24^2}=30$ (cm) - áp dụng định lý Pitago.

Nửa chu vi tam giác: $p=(AB+BC+AC):2=(18+24+30):2=36$ (cm) 

Diện tích: $S=AB.AC:2=18.24:2=216$ (cm²)

Áp dụng công thức:
$S=pr$ với $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.

$r=\frac{S}{p}=\frac{216}{36}=6$ (cm)

Bài 1:

1: Thay x=2025 vào A, ta được:

\(A=\dfrac{2025+5}{\sqrt{2025}-2}=\dfrac{2030}{43}\)

2: \(B=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}-\dfrac{2}{\sqrt{x}+2}-\dfrac{4\sqrt{x}}{x-4}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}-\dfrac{2}{\sqrt{x}+2}-\dfrac{4\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)-2\left(\sqrt{x}-2\right)-4\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

\(=\dfrac{x+2\sqrt{x}-2\sqrt{x}+4-4\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

\(=\dfrac{x-4\sqrt{x}+4}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}\)

3: \(P=A\cdot B=\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}\cdot\dfrac{x+5}{\sqrt{x}-2}=\dfrac{x+5}{\sqrt{x}+2}\)

\(=\dfrac{x-4+9}{\sqrt{x}+2}=\sqrt{x}-2+\dfrac{9}{\sqrt{x}+2}\)

\(=\sqrt{x}+2+\dfrac{9}{\sqrt{x}+2}-4>=2\cdot\sqrt{\left(\sqrt{x}+2\right)\cdot\dfrac{9}{\sqrt{x}+2}}-4=2\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\sqrt{x}+2=\sqrt{9}=3\)

=>x=1(nhận)

Bài 3:

1: Khi m=-2 thì phương trình sẽ trở thành:

\(x^2+2\cdot\left(-2\right)\cdot x-2-3=0\)

=>\(x^2-4x-5=0\)

=>(x-5)(x+1)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=5\\x=-1\end{matrix}\right.\)

2: \(\text{Δ}=\left(2m\right)^2-4\cdot1\cdot\left(m-3\right)\)

\(=4m^2-4m+12=4m^2-4m+1+11=\left(2m-1\right)^2+11>0\forall m\)

=>Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

Theo vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=-2m\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m-3\end{matrix}\right.\)

\(x_1^2+x_1x_2-2x_2^2=3\left(x_1-x_2\right)\)

=>\(x_1^2+2x_1x_2-x_1x_2-2x_2^2=3\left(x_1-x_2\right)\)

=>\(x_1\left(x_1+2x_2\right)-x_2\left(x_1+2x_2\right)-3\left(x_1-x_2\right)=0\)

=>\(\left(x_1-x_2\right)\left(x_1+2x_2-3\right)=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x_1=x_2\\x_1+2x_2=3\end{matrix}\right.\)

TH1: \(x_1=x_2\)

mà \(x_1+x_2=-2m\)

nên \(x_1=x_2=-m\)

\(x_1x_2=m-3\)

=>\(\left(-m\right)\cdot\left(-m\right)=m-3\)

=>\(m^2-m+3=0\)

=>\(\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{11}{4}=0\)(vô lý)

TH2: \(x_1+2x_2=3\)

mà \(x_1+x_2=-2m\)

nên \(x_2=3-\left(-2m\right)=2m+3\)

=>\(x_1=-2m-x_2=-2m-\left(2m+3\right)=-4m-3\)

\(x_1x_2=m-3\)

=>\(\left(2m+3\right)\left(-4m-3\right)=m-3\)

=>\(-8m^2-6m-12m-9=m-3\)

=>\(-8m^2-18m-9-m+3=0\)

=>\(-8m^2-19m-6=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}m=-\dfrac{3}{8}\\m=-2\end{matrix}\right.\)

a: Xét tứ giác EAOD có \(\widehat{EAO}+\widehat{EDO}=90^0+90^0=180^0\)

nên EAOD là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

EA,ED là các tiếp tuyến

Do đó: EA=ED

=>E nằm trên đường trung trực của AD(1)

ta có: OA=OD

=>O nằm trên đường trung trực của AD(2)

Từ (1),(2) suy ra OE là đường trung trực của AD

=>OE\(\perp\)AD tại H

Xét (O) có

ΔAKB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAKB vuông tại K

Xét ΔEAB vuông tại A có AK là đường cao

nên \(EK\cdot EB=EA^2\left(3\right)\)

Xét ΔEAO vuông tại A có AH là đường cao

nên \(EH\cdot EO=EA^2\left(4\right)\)

Từ (3),(4) suy ra \(EK\cdot EB=EH\cdot EO\)

\(B=\left(\dfrac{\sqrt{x}+2}{x+2\sqrt{x}+1}-\dfrac{\sqrt{x}-2}{x-1}\right)\cdot\dfrac{x\sqrt{x}+x-\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}\)

\(=\left(\dfrac{\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}-\dfrac{\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\right)\cdot\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-1\right)}{\sqrt{x}}\)

\(=\dfrac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)-\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2\cdot\left(\sqrt{x}-1\right)}\cdot\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)^2\cdot\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}}\)

\(=\dfrac{x+\sqrt{x}-2-\left(x-\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}}=\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=2\)

=>B là số nguyên

a: Thay x=1 và y=1 vào (d), ta được:

\(a\cdot1+3=1\)

=>a+3=1

=>a=-2

b: a=-2 nên y=-2x+3

Thay x=-2 vào y=-2x+3, ta được:

\(y=-2\cdot\left(-2\right)+3=7=y_B\)

Vậy: B(-2;7) thuộc (d)

c: y=-2x+3

Lời giải:
Gọi tia sáng mặt trời tạo với mặt đất là $\alpha$. 

Ta có:
$\tan \alpha = \frac{7,5}{12}=\frac{5}{8}$

$\Rightarrow \alpha = 32^0$

Hình vẽ:

\(\Delta=m^2-4\left(m-1\right)=\left(m-2\right)^2\ge0;\forall m\in\mathbb{R}\)

\(\Rightarrow\) Phương trình đã cho có 2 nghiệm với mọi \(m\in\mathbb{R}\)

Theo hệ thức Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-m\\x_1x_2=m-1\end{matrix}\right.\)

Theo đề bài, ta có:

\(x_1^3+x_2^3=26\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)=26\)

\(\Rightarrow\left(-m\right)^3-3\left(m-1\right)\cdot\left(-m\right)=26\)

\(\Leftrightarrow-m^3+3m-3=26\)

\(\Leftrightarrow m^3-3m+29=0\)

Nghiệm của pt này hơi xấu, bạn kiểm tra lại đề nhé.

Từ trên xuống tới dòng:

(-m)³ - 3(m - 1).(-m) = 26 em coi của bạn Toru nhé, Thầy giải tiếp chỗ đó

(-m)³ - 3(m - 1).(-m) = 26

⇔ -m³ + 3m² - 3m = 26

⇔ m³ - 3m² + 3m + 26 = 0

⇔ m³ + 2m² - 5m² - 10m + 13m + 26 = 0

⇔ (m³ + 2m²) - (5m² + 10m) + (13m + 26) = 0

⇔ m²(m + 2) - 5m(m + 2) + 13(m + 2) = 0

⇔ (m + 2)(m² - 5m + 13) = 0

⇔ m + 2 = 0 hoặc m² - 5m + 13 = 0

*) m + 2 = 0

⇔ m = -2

*) m² - 5m + 13 = 0 (2)

∆ = (-5)² - 4.1.13 = -27 < 0

⇒ Phương trình (2) vô nghiệm

Vậy m = -2

\(\text{Δ}=m^2-4\cdot1\cdot\left(m-1\right)\)

\(=m^2-4m+4=\left(m-2\right)^2>=0\forall m\)

=>Phương trình luôn có hai nghiệm 

Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=-m\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m-1\end{matrix}\right.\)

\(x_1^3+x_2^3=26\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)=26\)

=>\(\left(-m\right)^3-3\cdot\left(-m\right)\left(m-1\right)=26\)

=>\(-m^3+3m\left(m-1\right)=26\)

=>\(m^3-3m\left(m-1\right)=-26\)

=>\(m^3-3m^2+3m=-26\)

=>\(m^3-3m^2+3m-1=-27\)

=>\(\left(m-1\right)^3=-27\)

=>m-1=-3

=>m=-2