Bài này áp dụng BĐT B.C.S là ra nhé

Ta có \(VT=\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{b+c+a}=a+b+c=VP\) 

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{a}\Leftrightarrow a=b=c\)

(*) BĐT B.C.S phát biểu như sau:

 Cho \(2n\) số thực \(a_1,a_2,...,a_n,x_1,x_2,...,x_n\), trong đó \(a_i>0,\forall i\in\left\{1,2,...,n\right\}\). Khi đó ta có:

 \(\dfrac{x_1^2}{a_1}+\dfrac{x_2^2}{a_2}+...+\dfrac{x_n^2}{a_n}\ge\dfrac{\left(x_1+x_2+...+x_n\right)^2}{a_1+a_2+...+a_n}\) (*)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\dfrac{x_1}{a_1}=\dfrac{x_2}{a_2}=...=\dfrac{x_n}{a_n}\)

Trước tiên, ta chứng minh (*) đúng với \(n=2\). Thật vậy:

Với \(x,y\inℝ;a,b>0\), thì ta cần chứng minh 

\(\dfrac{x^2}{a}+\dfrac{y^2}{b}\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{a+b}\)

 \(\Leftrightarrow\dfrac{bx^2+ay^2}{ab}\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(bx^2+ay^2\right)\ge ab\left(x+y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow abx^2+a^2y^2+b^2x^2+aby^2\ge abx^2+aby^2+2abxy\)

\(\Leftrightarrow a^2y^2-2abxy+b^2x^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

 Vậy ta có đpcm. Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow ay=bx\Leftrightarrow\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}\)

 Để chứng minh với \(n\ge3\) thì bạn chỉ cần dùng nhiều lần BĐT cho 2 phân thức là được.

 VD: \(\dfrac{x^2}{a}+\dfrac{y^2}{b}+\dfrac{z^2}{c}\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{a+b}+\dfrac{z^2}{c}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c}\)

Vậy BĐT được chứng minh.

Gọi hai số cần tìm là a và b. Theo đề bài, ta có các điều kiện sau: 1. Hiệu của hai số là 0,6: a - b = 0,6 2. Thương của hai số là 0,6: a / b = 0,6 Để giải hệ phương trình này, ta có thể sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp đại số. Sử dụng phương pháp thế, ta có: a = 0,6 + b Thay vào phương trình thứ hai: (0,6 + b) / b = 0,6 0,6 + b = 0,6b 0,6b - b = 0,6 0,6b = 0,6 b = 1 Thay b = 1 vào phương trình a = 0,6 + b: a = 0,6 + 1 a = 1,6 Vậy hai số cần tìm là a = 1,6 và b = 1.

mình sẽ tích cho ai nhanh nhất

Sửa lại đề chỗ kia là \(\dfrac{b}{a}\) chứ không phải \(\dfrac{b}{b}\) nhé.

Đặt \(\dfrac{a}{b}=t>0\) . Khi đó BĐT cần chứng minh tương đương:

\(t^2+\dfrac{1}{t^2}\ge t+\dfrac{1}{t}\) 

\(\Leftrightarrow t^2+\dfrac{1}{t^2}+2\ge t+\dfrac{1}{t}+2\)

\(\Leftrightarrow\left(t+\dfrac{1}{t}\right)^2\ge t+\dfrac{1}{t}+2\) (*)

Đặt \(u=t+\dfrac{1}{t}\left(u\ge2\right)\), khi đó (*) tương đương:

\(u^2-u-2\ge0\)

\(\Leftrightarrow u^2+u-2u-2\ge0\)

\(\Leftrightarrow u\left(u+1\right)-2\left(u+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(u+1\right)\left(u-2\right)\ge0\) (luôn đúng vì \(u\ge2\))

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow u=2\) \(\Leftrightarrow t+\dfrac{1}{t}=2\) \(\Leftrightarrow t=1\) \(\Leftrightarrow a=b\)

Vậy ta có đpcm.

 Nãy mình nhìn nhầm đề, xin lỗi bạn nhiều. Cách trình bày vẫn như vậy nhé.

Lời giải:
Nếu $n$ chia hết cho $3$. Đặt $n=3k$ với $k$ tự nhiên.

Khi đó: $A=10^n+18n-1=10^{3k}+18.3k-1=1000^k+54k-1$

Có:
$1000\equiv 1\pmod {27}\Rightarrow 1000^k\equiv 1^k\equiv 1\pmod {27}$

$54k\equiv 0\pmod {27}$

$\Rightarrow 1000^k+54k-1\equiv 1+0-1\equiv 0\pmod {27}$

Hay $A\equiv 0\pmod {27}(1)$

Nếu $n$ chia $3$ dư $1$. Đặt $n=3k+1$ với $k$ tự nhiên.

Khi đó:

$A=10^{3k+1}+18(3k+1)-1=1000^k.10+54k+17$

$\equiv 1^k.10+0+17=27\equiv 0\pmod {27}(2)$

Nếu $n$ chia $3$ dư $2$. Đặt $n=3k+2$ với $k$ tự nhiên.

Khi đó:

$A=10^{3k+2}+18(3k+2)-1=1000^k.100+54k+35$

$\equiv 1^k.100+0+35=135\equiv 0\pmod {27}(3)$
Từ $(1); (2); (3)\Rightarrow A\vdots 27$ với mọi $n$ tự nhiên.

Em cảm ơn thầy/cô nhiều ạ .

Lời giải:
Vì tỉ số chiều dài và chiều rộng là $\frac{3}{7}$ nên gọi chiều dài là $a$ (m) thì chiều rộng là $\frac{3}{7}\times a$ (m) 

Diện tích: $a.\frac{3}{7}a=84$

$\Rightarrow a^2=196=14^2$

$\Rightarrow a=14$ (m) 

Vậy chiều dài là 14 m, chiều rộng là $14.\frac{3}{7}=6$ (m) 

Độ dài hàng rào bao quanh mảnh đất chính bằng chu vi mảnh đất và bằng: 
$2(14+6)=40$ (m)

Lời giải:
Chu vi đáy lăng trụ: $6+7+9=22$ (cm)

Diện tích xung quanh lăng trụ: $22.13=286$ (cm²)

a+b=480

3a+2b=1160

=>2a+b=1160-480=680

=>a=680-480=200

=>b=480-200=280

đúng 100% nhé

A B C D E F M N O I K

Câu 7:

Xét hình bình hành ABCD, gọi O là giao của AC và BD

\(OB=OD=\dfrac{BD}{2}\Rightarrow BD=2OB\) (trong hbh 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Ta có

\(BN=\dfrac{1}{3}BD\left(gt\right)\Rightarrow BN=\dfrac{1}{3}.2OB=\dfrac{2}{3}OB\) 

Xét hbh ABEF, gọi I là giao của AE và BF ta có

\(IA=IE=\dfrac{AE}{2}\Rightarrow AE=2IA\) (trong hbh 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Ta có

\(AM=\dfrac{1}{3}AE\left(gt\right)\Rightarrow AM=\dfrac{1}{3}.2IA=\dfrac{2}{3}IA\) (1)

Xét tg ABF có

\(IB=IF\) (trong hbh 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)  => IA là trung tuyến của tg ABF (2)

Từ (1) và (2) => M là trọng tâm của tg ABF

Gọi K là giao của BM với AF => BK là trung tuyến của tg ABF

\(\Rightarrow BM=\dfrac{2}{3}BK\)

Xét tg BOK có

\(BN=\dfrac{2}{3}OB\left(cmt\right)\Rightarrow\dfrac{BN}{OB}=\dfrac{2}{3}\)

\(BM=\dfrac{2}{3}BK\left(cmt\right)\Rightarrow\dfrac{BM}{BK}=\dfrac{2}{3}\)

\(\Rightarrow\dfrac{BN}{OB}=\dfrac{BM}{BK}=\dfrac{2}{3}\) => MN//OK (Talet đảo trong tam giác) (3)

Xét tg ACF có

BK là trung tuyến của tg ABF (cmt) => KA=KF

Ta có

OA=OC (trong hbh 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

=> OK là đường trung bình của tg ACF => OK//CF (4)

Từ (3) và (4) => MN//CF

mà \(CF\in\left(DCEF\right)\)

=> MN//(DCEF)