Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(\sqrt{2a+b}+\sqrt{2b+c}+\sqrt{2c+a})^2\leq [(2a+b)+(2b+c)+(2c+a)](1+1+1)=3(a+b+c).3=9(a+b+c)=81$

$\Rightarrow \sqrt{2a+b}+\sqrt{2b+c}+\sqrt{2c+a}\leq 9$

Vậy ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=3$

\(\dfrac{1}{2}\left(x+1\right)\left(3-x\right)+x=3\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}\right)\left(3-x\right)-\left(3-x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(3-x\right)\left(\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(3-x\right)\left(\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\left(3-x\right)\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3-x=0\\x-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\\x=1\end{matrix}\right.\)

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là \(S=\left\{3;1\right\}\).

$Toru$

\(\dfrac{1}{2}\left(x+1\right)\left(3-x\right)+x=3\)

=>\(\dfrac{1}{2}\left(3x-x^2+3-x\right)+x=3\)

=>\(\dfrac{1}{2}\left(-x^2+2x+3\right)+x=3\)

=>\(-x^2+2x+3+2x=6\)

=>\(-x^2+4x-3=0\)

=>\(\left(x-1\right)\left(x-3\right)=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\x-3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=3\end{matrix}\right.\)

Hình vẽ đâu bạn ơi?

x-y=4

=>y=x-4

Vậy: Nghiệm tổng quát là \(\left\{{}\begin{matrix}x\in R\\y=x-4\end{matrix}\right.\)

Biểu diễn nghiệm:

a: 

b: Thay x=0 và y=-2 vào (d1), ta được:

\(a\cdot0+b=-2\)

=>b=-2

=>(d1): y=ax-2

Thay x=1 và y=3 vào (d1), ta được:

\(a\cdot1-2=3\)

=>a-2=3

=>a=5

Vậy: (d1): y=5x-2

c: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(\dfrac{1}{2}x^2=2x+m\)

=>\(x^2=4x+2m\)

=>\(x^2-4x-2m=0\)

\(\Delta=\left(-4\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-2m\right)=8m+16\)

Để (P) cắt (d2) tại hai điểm phân biệt thì 8m+16>0

=>8m>-16

=>m>-2

Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=4\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=-2m\end{matrix}\right.\)

\(x_1+x_2-2x_1x_2=2024\)

=>\(4-2\cdot\left(-2m\right)=2024\)

=>4m+4=2024

=>m+1=506

=>m=505(nhận)

\(x+\sqrt{x+2}=0\left(ĐK:x\ge-2\right)\)

\(\Leftrightarrow x+1+\left(\sqrt{x+2}-1\right)=0\\ \Leftrightarrow x+1+\dfrac{x+2-1}{\sqrt{x+2}+1}=0\\ \Leftrightarrow x+1+\dfrac{x+1}{\sqrt{x+2}+1}=0\\ \Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{x+2}+1}\right)=0\\ \Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+1=0\\1+\dfrac{1}{\sqrt{x+2}+1}=0\left(PTVN\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=-1\left(TMDK\right)\)

Vậy pt có nghiệm duy nhất: x=-1

Mình giải thích thêm phần này nhé:

\(1+\dfrac{1}{\sqrt{x+2}+1}=0\left(PTVN\right)\)

Vì với mọi x thuộc ĐK:

\(\sqrt{x+2}\ge0\Rightarrow\sqrt{x+2}+1>0\\ \Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{x+2}+1}>0\\ \Rightarrow VT=1+\dfrac{1}{\sqrt{x+2}+1}>0=VP\)

Do VT > VP nên không thể xảy ra dấu = 

Dẫn đến ptvn bạn nhé

Chắc trừ 0,25đ thôi em nhé!

Với $x>0;x\ne1$:

$P=\frac{\sqrt x+1}{\sqrt x-1}+\frac{2\sqrt x+1}{x-\sqrt x}+\frac{1}{\sqrt x}$

$=\frac{\sqrt x\left(\sqrt x+1\right)}{\sqrt x\left(\sqrt x-1\right)}+\frac{2\sqrt x+1}{\sqrt x\left(\sqrt x-1\right)}+\frac{\sqrt x-1}{\sqrt x\left(\sqrt x-1\right)}$

$=\frac{x+\sqrt x+2\sqrt x+1+\sqrt x-1}{\sqrt x\left(\sqrt x-1\right)}$

$=\frac{x+4\sqrt x}{\sqrt x\left(\sqrt x-1\right)}=\frac{\sqrt x\left(\sqrt x+4\right)}{\sqrt x\left(\sqrt x-1\right)}=\frac{\sqrt x+4}{\sqrt x-1}$

$Toru$