P =\(\sqrt{\frac{a+b}{a+b+c}}+\sqrt{\frac{b+c}{a+b+c}}+\sqrt{\frac{c+a}{a+b+c}}\)

\(=1.\sqrt{\frac{a+b}{a+b+c}}+1.\sqrt{\frac{b+c}{a+b+c}}+1.\sqrt{\frac{c+a}{a+b+c}}\)

\(\le\sqrt{\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{a+b+c}+\frac{c+a}{a+b+c}\right)}=\sqrt{3.2}=\sqrt{6}\)(BĐT Bunyakovsky)

Gọi số tự nhiên cần tìm là \(\overline{ab}\)(\(a,b\inℕ\), \(a\ne0\), \(a,b\le9\))

Vì tổng các chữ số của số đó là 9 nên ta có phương trình \(a+b=9\)(1)

Ta có \(\overline{ab}=10a+b\)

Khi viết chữ số 0 vào giữa hai chữ số thì ta được số mới là \(\overline{a0b}=100a+b\)

Vì số mới gấp 9 lần số đã cho nên ta có phương trình \(100a+b=9\left(10a+b\right)\Leftrightarrow100a+b=90a+9b\Leftrightarrow10a=8b\Leftrightarrow b=\frac{5}{4}a\)(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow a+\frac{5}{4}a=9\Leftrightarrow\frac{9}{4}a=9\Leftrightarrow a=4\left(nhận\right)\)

\(\Rightarrow b=9-a=9-4=5\)(nhận)

Vậy số tự nhiên ban đầu là 45

a) Ta có BĐT luôn đúng \(\left(a-b\right)^2\ge0\)\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2\ge a^2+2ab+b^2\)\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)(đpcm)

b) Ta có các BĐT luôn đúng \(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\ge0\\\left(b-c\right)^2\ge0\\\left(c-a\right)^2\ge0\end{cases}}\)\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\)

\(\Leftrightarrow3a^2+3b^2+3c^2\ge a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)

Answer:

Có: 

\(\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2\ge a^2+b^2+2ab\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

b) \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2-2bc+c^2+a^2-2ac+c^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\)\(2a² + 2c² + 2b² ≥ 2ab + 2ac + 2bc\)

\(\Leftrightarrow\)\(3a² + 3b² + 3c² ≥ a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc\)

\(\Leftrightarrow\)\(3(a² + b² + c²) ≥ (a+b+c)²\)

a, tự vẽ nhé 

b, d // d' <=> \(\hept{\begin{cases}2m-3=3\\1\ne-2\left(luondung\right)\end{cases}}\Leftrightarrow m=3\)

c, d vuông d'' <=> \(3a'=-1\Leftrightarrow a'=-\frac{1}{3}\)

\(2020-\sqrt{x^2-2x+1}=1\Leftrightarrow2020-\sqrt{\left(x-1\right)^2}=1\)

\(\Leftrightarrow2020-\left|x-1\right|=1\Leftrightarrow\left|x-1\right|=2019\)

TH1 : \(x-1=2019\Leftrightarrow x=2020\)

TH2 : \(x-1=-2019\Leftrightarrow x=-2018\)

456-345=111

TL:

456 -345 =111

Ht

a) Xét ΔEAM và ΔNAD có 

AE=AN(gt)

ˆEAM=ˆNADEAM^=NAD^(hai góc đối đỉnh)

AM=AD(A là trung điểm của MD)

Do đó: ΔEAM=ΔNAD(c-g-c)

Suy ra: ME=ND(Hai cạnh tương ứng)

ứdfrthyjuiopoikujyhgtf

Ta có:

\(\frac{1}{n\sqrt{n+1}+\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n\left(n+1\right)}\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n\left(n+1\right)}}\)

\(=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}.\text{ Vì thế, }A=1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-...-\frac{1}{\sqrt{401}}< 1.\)

chịu rồi