Trước tiên ta chứng minh bổ đề: Với x, y dương thì ta có:

\(\frac{1}{x^n}+\frac{1}{y^n}\ge\frac{2^{n+1}}{\left(x+y\right)^n}\)

Với n = 1 thì nó đúng.

Giả sử nó đúng đến \(n=k\)hay \(\frac{1}{x^k}+\frac{1}{y^k}\ge\frac{2^{k+1}}{\left(x+y\right)^k}\left(1\right)\)

Ta chứng minh nó đúng đến \(n=k+1\)hay \(\frac{1}{x^{k+1}}+\frac{1}{y^{k+1}}\ge\frac{2^{k+2}}{\left(x+y\right)^{k+1}}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) cái ta cần chứng minh trở thành:

\(\frac{1}{x^{k+1}}+\frac{1}{y^{k+1}}\ge\left(\frac{1}{x^k}+\frac{1}{y^k}\right)\frac{2}{\left(x+y\right)}\)

\(\Leftrightarrow\left(y-x\right)\left(y^{k+1}-x^{k+1}\right)\ge0\)(đúng)

Vậy ta có ĐPCM.

Áp dụng và bài toán ta được

\(2\left(\frac{1}{\left(a+b-c\right)^{2018}}+\frac{1}{\left(b+c-a\right)^{2018}}+\frac{1}{\left(c+a-b\right)^{2018}}\right)\ge\frac{2^{2019}}{2^{2018}.a^{2018}}+\frac{2^{2019}}{2^{2018}.b^{2018}}+\frac{2^{2019}}{2^{2018}.c^{2018}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(a+b-c\right)^{2018}}+\frac{1}{\left(b+c-a\right)^{2018}}+\frac{1}{\left(c+a-b\right)^{2018}}\ge\frac{1}{a^{2018}}+\frac{1}{b^{2018}}+\frac{1}{c^{2018}}\)

1/ Điều kiện: x>=2009.

Ta có: \(y=x-2\sqrt{x-2009}=\left(x-2009\right)-2\sqrt{x-2009}+1+2008.\)

=> \(y=\left(\sqrt{x-2009}-1\right)^2+2008\)

Do \(\left(\sqrt{x-2009}-1\right)^2\ge0\) => \(y=\left(\sqrt{x-2009}-1\right)^2+2008\ge2008\)(Với mọi x>=2009)

GTNN của y là: y=2008

Đạt được khi \(\left(\sqrt{x-2009}-1\right)^2=0\) <=> x-2009=1 <=> x=2010

2/ Ta có: x+y=6 => y=6-x.  Đặt A=x²y

=> A=x²y=x²(6-x)=6x²-x³ = x(6x-x²)=x(9-9+6x-x²)=x[9-(x²-6x+9)] =x[9-(x-3)²]

Do x>0 và (x-3)² >=0  => A đạt giá trị lớn nhất khi (x-3)²=0 <=> x=3 

=> GTLN của A=x²y là 3.9=27  Đạt được khi x=y=3

A B C H 50 37 O O

Kẻ \(AH\perp BC\). Đặt BH = x thì \(CH=60-x\)

Xét tam giác vuông ABH có: \(AH=tan50^o.x\)

Xét tam giác vuông ACH có: \(AH=tan37^o.\left(60-x\right)\)

Vậy nên ta có: \(tan50.x=tan37^o.\left(60-x\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(tan50^o+tan37^o\right).x=tan37^o.60\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{tan37^o.60}{tan50^o+tan37^o}\)  (cm)

Vậy thì \(AB=\frac{x}{cos50^o}=\frac{tan37^o.60}{cos50^o\left(tan50^o+tan37^o\right)}\)  (cm)

\(AH=x.tan50^o=\frac{tan50^o.tan37^o.60}{\left(tan50^o+tan37^o\right)}\)  (cm)

\(AC=\frac{AH}{sin37^o}=\frac{tan50^o.60}{cos37^o\left(tan50^o+tan37^o\right)}\)  (cm)

\(S_{ABC}=\frac{1}{2}.BC.AH=\frac{30tan50^o.tan37^o.60}{tan50^o+tan37^o}=\frac{1800tan50^o.tan37^o}{tan50^o+tan37^o}\left(cm^2\right)\)

Bài 2:

\(x^2-2x-3-\left(x+1\right)\sqrt{x^2+3}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x-3\right)-\left(x+1\right)\sqrt{x^2+3}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x-3-\sqrt{x^2+3}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+1=0\\x-3-\sqrt{x^2+3}=0\end{cases}}\)

TH1: \(x+1=0\Leftrightarrow x=-1\) 

TH2:  \(x-3-\sqrt{x^2+3}=0\Leftrightarrow x-3=\sqrt{x^2+3}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge3\\x^2+3=x^2-6x+9\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge3\\x=1\end{cases}}\left(l\right)\)

Vậy phương trình có nghiệm x =  -1.

ta có:2(y+z)=x(yz-1)

=>2y+2z=xyz-x

=>2y+2z+x=xyz

mik ko làm tiếp đc do thiếu đ/k