\(3x^2-4xy+2y^2=3\)

\(\Leftrightarrow x^2+2\left(x-y\right)^2=3\)

\(\Rightarrow x^2\le3\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2=0\\x^2=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow y^2=\dfrac{3}{2}\left(ktm\right)\\x=-1\Rightarrow2y^2+4y=0\Rightarrow y=\left\{-2;0\right\}\\x=1\Rightarrow2y^2-4y=0\Rightarrow y=\left\{0;2\right\}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow M=...\)

a) △ABC cân ⇒ trung tuyến AH đồng thời là đg cao, đg phân giác

→ AH \(\perp\)BC 

xét △ vuông AHC có HM là đường trung tuyến (do CM là trung tuyến tgiac ABC → M là trung điểm của AB) 

⇒ HM = 1/2 AB = 1/2AC = 5

b) xét tứ giác AGBN có AB và GN cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường

⇒ AGBN là hbh

C) câu này mình chua nghi ra 

\(M=\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(9x^2-6x+1\right)=\left(x-y\right)^2+\left(3x-1\right)^2\ge0\)

\(M_{min}=0\) khi \(x=y=\dfrac{1}{3}\)

a/

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}\) (Pitago)

\(\Rightarrow BC=\sqrt{6^2+8^2}=10cm\)

\(IB=IC\Rightarrow AI=\dfrac{BC}{2}\) (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

\(\Rightarrow AI=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{10}{2}=5cm\)

b/

Ta có

OA=OC (gt)

OI=ON (gt)

=> AICN là hình bình hành (Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường) (1)

\(AI=IC=\dfrac{BC}{2}\) (2)

Từ (1) và (2)

=> AICN là hình thoi (Hình bình hành có hai cạnh liền kề bằng nhau)

Không đủ dữ kiện để c/m AICN là HCN

`c, ab <=(a+b)^2/4`.

Tương tự, `{(bc <=(b+c)^2/4), (ca<=(c+a)^2/4):}`

`-> ab/(a+b) + bc/(b+c) + ca/(c+a) <=(a+b+b+c+c+a)/4 = (a+b+c)/2`.

`d,` Đặt `b+c=x, c+a=y, a+b = z`, ta có:

`(-x+y+z)/2x + (-y+z+x)/2y + (-z+x+y)/2z = y/2x + z/2x + z/2y + x/2y + x/2z + y/2x >= 3/2.`

Đến đây bạn dùng BĐT Svac xơ nhé.

Lời giải:

$(x-5)(2-x)-(x-1)^2=(2x-x^2-10+5x)-(x^2-2x+1)$

$=7x-x^2-10-x^2+2x-1=(7x+2x)-(x^2+x^2)-(10+1)=9x-2x^2-11$

Lời giải:

$2a^2-bc^2-a^2b+2c^2=(2a^2+2c^2)-(bc^2+a^2b)$

$=2(a^2+c^2)-b(a^2+c^2)=(a^2+c^2)(2-b)$

`2a^2 - bc^2 - a^2b+ 2c^2`

`=(2a^2 - a^2b) -(bc^2 + 2c^2)`

`=a^2.(2-b) - c^2.(b+2)`

`=a^2 .(2-b) +c^2 . (2-b)`

`=(2-b).(a^2 +c^2)`