a) Đặt A = 10.11 + 11.12 + 12.13 + ... + 86.86

⇒ 3A = 10.11.3 + 11.12.3 + 12.13.3 + ... + 85.86.3

= 10.11.(12 - 9) + 11.12.(13 - 10) + 12.13.(14 - 11) + ... + 85.86.(87 - 84)

= 10.11.12 - 9.10.11 + 11.12.13 - 10.11.12 + 12.13.14 - 11.12.13 + ... + 85.86.87 - 84.85.86

= -9.10.11 + 85.86.87

= 634980

⇒ A = 634980 : 3 = 211660

b) Đặt B = 1.4 + 4.7 + 7.10 + ... + 37.40 + 40.43

⇒ 9B = 1.4.9 + 4.7.9 + 7.10.9 + ... + 37.40.9 + 40.43.9

= 1.4.(7 + 2) + 4.7.(10 - 1) + 7.10.(13 - 4) + ... + 37.40.(43 - 34) + 40.43.(46 - 37)

= 1.4.7 + 1.2.4 + 4.7.10 - 1.4.7 + 7.10.13 - 4.7.10 + ... + 37.40.43 - 34.37.40 + 40.43.46 - 37.40.43

= 1.2.4 + 40.43.46

= 8 + 79120

= 79128

⇒ B = 79128 : 9 = 8792

Gọi d=ƯCLN(2n+1;3n+2)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2n+1⋮d\\3n+2⋮d\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}6n+3⋮d\\6n+4⋮d\end{matrix}\right.\)

=>\(6n+4-6n-3⋮d\)

=>\(1⋮d\)

=>d=1

=>ƯCLN(2n+1;3n+2)=1

=>\(\dfrac{2n+1}{3n+2}\) là phân số tối giản

Đặt \(B=4^{2023}+4^{2022}+...+4^2+5\)

=>\(B=4^{2023}+4^{2022}+...+4^2+4+1\) và \(A=75B+25\)

\(B=4^{2023}+4^{2022}+...+4^2+4+1\)

=>\(4B=4^{2024}+4^{2023}+...+4^3+4^2+4\)

=>\(4B-B=4^{2024}+4^{2023}+...+4^3+4^2+4-4^{2023}-4^{2022}-...-4^2-4-1\)

=>\(3B=4^{2024}-1\)

=>\(B=\dfrac{4^{2024}-1}{3}\)

\(A=75\cdot B+25=75\cdot\dfrac{4^{2024}-1}{3}+25\)

\(=25\left(4^{2024}-1\right)+25\)

\(=25\cdot4^{2024}⋮4^{2024}\)

\(3\cdot5^{x-1}+6250=25^3\)

=>\(\dfrac{3}{5}\cdot5^x=25^3-6250=9375\)

=>\(5^x=9375:\dfrac{3}{5}=15625\)

=>x=6

a: Vì O nằm trên đoạn AB

nên O nằm giữa A và B

=>OA+OB=AB

=>OA+2=7

=>OA=5(cm)

b: I nằm trên đoạn AO

=>I nằm giữa A và O

=>AI+IO=AO

=>IO+3=5

=>IO=2(cm)

Vì OA và OB là hai tia đối nhau

nên OI và OB là hai tia đối nhau

=>O nằm giữa I và B

mà OI=OB(=2cm)

nên O là trung điểm của BI

Vì AP và AQ là hai tia đối nhau

nên A nằm giữa P và Q

\(A=\dfrac{1}{2\cdot3}+\dfrac{1}{3\cdot4}+...+\dfrac{1}{98\cdot99}+\dfrac{1}{99\cdot100}\)

\(=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}\)

\(=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{100}=\dfrac{49}{100}\)

Hãy viết phân số 7/12 dưới dạng tổng của hai phân số có tử số là 1 mẫu số khác nhau

a: Số bài đạt điểm trung bình là \(60\cdot25\%=15\left(bài\right)\)

Số bài còn lại là 60-15=45(bài)

Số bài đạt điểm khá là \(45\cdot\dfrac{1}{3}=15\left(bài\right)\)

Số bài đạt điểm giỏi là 45-15=30(bài)

b: Tỉ số phần trăm giữa số bài đạt điểm khá và đạt điểm trung bình là:

15:15=100%

\(\dfrac{1}{1\cdot6}+\dfrac{1}{6\cdot11}+...+\dfrac{1}{496\cdot501}\)

\(=\dfrac{1}{5}\left(\dfrac{5}{1\cdot6}+\dfrac{5}{6\cdot11}+...+\dfrac{5}{496\cdot501}\right)\)

\(=\dfrac{1}{5}\left(1-\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{11}+...+\dfrac{1}{496}-\dfrac{1}{501}\right)\)

\(=\dfrac{1}{5}\left(1-\dfrac{1}{501}\right)=\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{500}{501}=\dfrac{100}{501}\)

\(B=\dfrac{1}{1.6}+\dfrac{1}{6.11}+\dfrac{1}{11.16}+...+\dfrac{1}{496.501}\)
\(\Rightarrow5B=\dfrac{5}{1.6}+\dfrac{5}{6.11}+\dfrac{5}{11.16}+...+\dfrac{5}{496.501}\)
\(\Rightarrow5B=\dfrac{6-1}{1.6}+\dfrac{11-6}{6.11}+\dfrac{16-11}{11.16}+...+\dfrac{501-496}{496.501}\)
\(\Rightarrow5B=\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{11}+\dfrac{1}{11}-\dfrac{1}{16}+...+\dfrac{1}{496}-\dfrac{1}{501}\)
\(\Rightarrow5B=\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{501}\)
\(\Rightarrow5B=\dfrac{500}{501}\)
\(\Rightarrow B=\dfrac{100}{501}\)