Đây là dạng toán nâng cao chuyên đề số nguyên tố, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi. Hôm nay Olm.vn sẽ hướng dẫn em giải chi tiết dạng này bằng phương pháp đánh giá như sau:

                              Giải:

  A = 17n - 51 

A = 17.(n - 3)

Nếu n - 3 ≤ 0 ⇒ A ≤ 17.0 = 0 (loại)

Nếu n - 3 = 1 thì A = 17 (nhận)

⇒ n - 3 = 1 ⇒ n = 1 + 3  ⇒ n = 4

Nếu n - 3 ≥ 2 ⇒ A ⋮ 17; n - 3; 17.(n -3) ⇒ A là hợp số (loại)

Vậy với n = 4 thì A = 17n - 51 là số nguyên tố

^{TK ạ:}

Để số 17n - 51 là số nguyên tố, ta cần tìm số tự nhiên n sao cho 17n - 51 là số nguyên tố.

Ta thử lần lượt với các giá trị n từ 1 trở đi:

- Khi n = 1: 17*1 - 51 = -34 (không phải số nguyên tố)

- Khi n = 2: 17*2 - 51 = -17 (không phải số nguyên tố)

- Khi n = 3: 17*3 - 51 = 34 (không phải số nguyên tố)

- Khi n = 4: 17*4 - 51 = 51 (không phải số nguyên tố)

- Khi n = 5: 17*5 - 51 = 68 (không phải số nguyên tố)

- Khi n = 6: 17*6 - 51 = 85 (là số nguyên tố)

Vậy số tự nhiên n cần tìm là 6.

\(Q=\dfrac{1}{1\cdot4}+\dfrac{1}{4\cdot7}+\dfrac{1}{7\cdot10}+\dots+\dfrac{1}{91\cdot94}+\dfrac{1}{94\cdot97}\)

\(=\dfrac{1}{3}\cdot\left(\dfrac{3}{1\cdot4}+\dfrac{3}{4\cdot7}+\dfrac{3}{7\cdot10}+\dots+\dfrac{3}{91\cdot94}+\dfrac{3}{94\cdot97}\right)\)

\(=\dfrac{1}{3}\cdot\left(1-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{10}+\dots+\dfrac{1}{91}-\dfrac{1}{94}+\dfrac{1}{94}-\dfrac{1}{97}\right)\)

\(=\dfrac{1}{3}\cdot\left(1-\dfrac{1}{97}\right)\)

\(=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{96}{97}=\dfrac{32}{97}\)

___

Công thức: \(\dfrac{a}{n\left(n+a\right)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+a}\)

Lời giải:

Sửa đề: $x(x+1)$ thay vì $x(x+2)$.
$\frac{1}{21}+\frac{1}{28}+\frac{1}{36}+...+\frac{2}{x(x+1)}=\frac{2}{9}$
$\frac{2}{42}+\frac{2}{56}+\frac{2}{72}+....+\frac{2}{x(x+1)}=\frac{2}{9}$

$2\left[\frac{1}{6.7}+\frac{1}{7.8}+\frac{1}{8.9}+...+\frac{1}{x(x+1)}\right]=\frac{2}{9}$

$\frac{7-6}{6.7}+\frac{8-7}{7.8}+\frac{9-8}{8.9}+...+\frac{(x+1)-x}{x(x+1)}=\frac{1}{9}$

$\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\frac{1}{8}-\frac{1}{9}+...+\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}=\frac{1}{9}$

$\frac{1}{6}-\frac{1}{x+1}=\frac{1}{9}$

$\frac{1}{x+1}=\frac{1}{6}-\frac{1}{9}=\frac{1}{18}$

$\Rightarrow x+1=18$

$\Rightarrow x=17$

11h kém 15ph=10h 45ph

10h 45ph-9h 25ph=1h20ph

Lời giải:

$10A=\frac{10^{13}+10}{10^{13}+1}=1+\frac{9}{10^{13}+1}> 1+\frac{9}{10^{14}+1}=\frac{10^{14}+10}{10^{14}+1}=10B$
$\Rightarrow A> B$

Lần sau bạn lưu ý gõ đề bằng công thức toán (biểu tượng $\sum$ góc trái khung soạn thảo) để mọi người đọc đề của bạn dễ hiểu hơn nhé.

x,y là các số thế nào em? Số nguyên? Số tự nhiên?.....

$P = (1 + \frac{1}{2}) + (1 + \frac{1}{2^2}) + ... + (1 + \frac{1}{2^{200}}) < 2 + 2 + ... + 2 = 200 \times 2 = 400$

Số học sinh nam của khối 6 là:

$120\cdot\dfrac58=75$ (học sinh)

Số học sinh nữ của khối 6 là:

$120-75=45$ (học sinh)

\(A=\dfrac{7}{9}+\dfrac{7}{72}+\dfrac{7}{184}+\dfrac{7}{345}\)

\(A=\dfrac{2.7}{18}+\dfrac{2.7}{144}+\dfrac{2.7}{368}+\dfrac{2.7}{690}\)

\(A=2.\left(\dfrac{7}{2.9}+\dfrac{7}{9.16}+\dfrac{7}{16.23}+\dfrac{7}{23.30}\right)\)

\(A=2.\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{16}-\dfrac{1}{23}+\dfrac{1}{23}-\dfrac{1}{30}\right)\)

\(A=2.\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{30}\right)\)

\(A=2.\left(\dfrac{15}{30}-\dfrac{1}{30}\right)\)

\(A=\dfrac{14}{15}\)

Gọi \(ƯCLN\left(2n+3;4n+8\right)=d\)   \((d\in \mathbb{N^*})\)

Khi đó: \(\left\{{}\begin{matrix}2n+3 ⋮ d\\4n+8 ⋮ d\end{matrix}\right. \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\left(2n+3\right) ⋮ d\\4n+8 ⋮ d\end{matrix}\right. \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4n+6 ⋮ d\\4n+8 ⋮ d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(4n+8\right)-\left(4n+6\right) ⋮ d\)

\(\Rightarrow4n+8-4n-6⋮d\Rightarrow2⋮d\)

\(\Rightarrow d\inƯ\left(2\right)\Rightarrow d\in\left\{1;2;-1;-2\right\}\)

Mà \(d\in\mathbb{N^*}\Rightarrow d\in\{1;2\}\) (1)

Lại có: \(\begin{cases} 2n+3 \text{ lẻ với mọi } n\\ 2n+3\vdots d \end{cases}\Rightarrow d \text{ lẻ }\)(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow d=1\RightarrowƯCLN\left(2n+3;4n+8\right)=1\)

\(\Rightarrow\dfrac{2n+3}{4n+8}\) là phân số tối giản với mọi số tự nhiên n

Gọi \(d=ƯC\left(2n+3;4n+8\right)\) với d nguyên dương

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2n+3⋮d\\4n+8⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow4n+8-2.\left(2n+3\right)⋮d\)

\(\Rightarrow2⋮d\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}d=1\\d=2\end{matrix}\right.\) (1)

Lại có \(2n+3⋮d\) mà \(2n+3\) luôn lẻ

\(\Rightarrow d\) lẻ (2)

Từ (1),(2) \(\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow2n+3\) và \(4n+8\) nguyên tố cùng nhau với mọi n tự nhiên

\(\Rightarrow\dfrac{2n+3}{4n+8}\) là phân số tối giản với mọi số tư nhiên n

Số cây sẽ là:
$\frac{6000}{24} + 1 = 250 + 1 = 251$
Số cây không phải trồng lại sẽ là:
$\frac{6000}{15} + 1 = 400 + 1 = 401$
Đáp số: 401 cây.