\(P=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}-\dfrac{5}{ab+bc+ca}=\dfrac{a^2}{ab}+\dfrac{b^2}{bc}+\dfrac{c^2}{ca}-\dfrac{5}{ab+bc+ca}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2-5}{ab+bc+ca}=\dfrac{4}{ab+bc+ca}\ge\dfrac{4.3}{\left(a+b+c\right)^2}=\dfrac{12}{3^2}=\dfrac{4}{3}\left(đpcm\right)\)

\(dấu"="\Leftrightarrow a=b=c=1\)

\(x^2+1=2x+\sqrt{3x-1}\) (không cần điệu kiện)

\(\Leftrightarrow x^2-\left(3x-1\right)=-x+\sqrt{3x-1}\)

\(\Leftrightarrow x^2-\left(\sqrt{3x-1}\right)^2=-\left(x-\sqrt{3x-1}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\sqrt{3x-1}\right)\left(x+\sqrt{3x-1}\right)=-\left(x-\sqrt{3x-1}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\sqrt{3x-1}\right)\left(x+1+\sqrt{3x-1}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-\sqrt{3x-1}=0\left(1\right)\\x+1+\sqrt{3x-1}=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow x=\sqrt{3x-1}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=3x-1\\x\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=\dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2}\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow-x-1=\sqrt{3x-1}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(-x-1\right)^2=3x-1\\-x-1\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2-x+2=0\\x\le-1\end{matrix}\right.\)(vô nghiệm)

Vậy phương trình có hai nghiệm \(x_{1,2}=\dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2}\)

\(\sqrt{a+bc}=\sqrt{a\left(a+b+c\right)+bc}=\sqrt{a^2+ab+ac+bc}\)

\(=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\ge\sqrt{a}.\sqrt{a}+\sqrt{b}.\sqrt{c}=a+\sqrt{bc}\)

Tương tự ta cũng có: 

\(\sqrt{b+ca}\ge b+\sqrt{ca},\sqrt{c+ab}\ge c+\sqrt{ab}\)

Cộng lại vế với vế ta được: 

\(\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}\ge a+b+c+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)

\(=1+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\).

Dấu \(=\) xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\).

ta đi chứng minh \(\sqrt{a+bc}\ge a+\sqrt{bc}\left(1\right)\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow a+bc\ge a^2+2a\sqrt{bc}+bc\)

\(\Leftrightarrow a\ge a^2+2a\sqrt{bc}\)

\(\Leftrightarrow a\left(a+b+c\right)\ge a^2+2a\sqrt{bc}\)

\(\Leftrightarrow ab+ac\ge2a\sqrt{bc}\) \(\Leftrightarrow b+c\ge2\sqrt{bc}\)(điều này đúng theo cosi)\(\Rightarrow\left(1\right)đúng\)

\(chứng\) \(minh\) \(tương\) \(tự\Rightarrow\sqrt{b+ca}\ge b+\sqrt{ca}\left(2\right);\sqrt{c+ab}\ge c+\sqrt{ab}\left(3\right)\)

\(\left(1\right)\left(2\right)\left(3\right)\Rightarrow\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}\ge1+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)

đáp số : x =  \(\sqrt{ }\)3 - 1.

olm program chèn ký tự không phải của win hay của chorme original!

Sửa lại x = \(\)\(\sqrt{ }\)2 ( 3 - 1)

căn bậc 2 của \(\sqrt{ }\)2

căn bậc 2 của   \(\sqrt{ }\)3

Đk: x > = -1

Ta có:  \(2x\left(x-1\right)=3x\sqrt{x+1}+2\)

<=> \(2x^2-2x-2-3x\sqrt{x+1}=0\)

<=> \(2x^2-2\left(x+1\right)-3x\sqrt{x+1}=0\)

Đặt \(\sqrt{x+1}=a\left(a\ge0\right)\)

Khi đó: \(2x^2-3ax-2a^2=0\)

<=> \(2x^2-4ax+ax-2a^2=0\)

<=> \(\left(2x+a\right)\left(x-2a\right)=0\)

<=> \(\left[{}\begin{matrix}a=-2x\left(1\right)\\x=2a\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Giải (1) => \(\sqrt{x+1}=-2x\)

<=> \(\left\{{}\begin{matrix}x\le0\\x+1=4x^2\end{matrix}\right.\)

<=> (tự tính)

Giải (2) => \(x=2\sqrt{x+1}\)

<=> \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\x^2=4x+4\end{matrix}\right.\)

<=> (tự tính)

+) a>=1 ; b >=1

=> a-1>=0 ; b-1>=0

=>(a-1)(b-1)>=0

=> ab - b - a + 1 >= 0

=> ab >= a + b - 1

CMTT : bc >= b + c - 1 ; ca >= c + a - 1

=> ab + bc + ca >= 2(a + b + c ) - 3

=> 2(ab+bc+ca)>= 4(a+b+c)-6

+) a^2 + b^2 + c^2 = 6

=> (a+b+c)^2 = 6 +2ab+2bc+2ca

=> (a+b+c)^2 >= 6+4(a+b+c)-6

=> S^2 >= 4S

=> S^2 - 4S >=0

=> S(S-4)>=0

Vì : a>=1;b>=1;c>=1 => S > 0

=> S - 4 >= 0

=> S >= 4

Vậy min S = 4 <=> (a;b;c) là hoán vị của ( 2;1;1 ) 

Do AB không đổi nên IAB có diện tích lớn nhất khi đường cao cao từ I xuống AB lớn nhất.

Đường cao từ I xuống AB lớn nhất khi trùng với IO

Hay IO vuông góc với AB

Từ đây bạn tìm vị trí điểm M nhé !

Bạn giải thích kỹ giúp mình chỗ Đường cao từ I xuống AB lớn nhất khi trùng với IO được ko mình ko hiểu vì sao lại vậy