\(\left(x+\sqrt{3+x^2}\right)\left(y+\sqrt{3+y^2}\right)=3\\ < =>\left(x+\sqrt{3+x^2}\right)\left(x-\sqrt{3+x^2}\right)\left(y+\sqrt{3+y^2}\right)=3\left(x-\sqrt{3+x^2}\right)\\ < =>x^2-3-x^2\left(y+\sqrt{3+y^2}\right)=3\left(x-\sqrt{3+x^2}\right)\\ < =>-\left(y+\sqrt{3+y^2}\right)=x-\sqrt{3+x^2}\left(1\right)\)

Tương tự ta có: \(x+\sqrt{3+x^2}=-\left(y-\sqrt{3+y^2}\right)\left(2\right)\)

Lấy (1) + (2) ta có: 

\(-\left(y+\sqrt{3+y^2}\right)-\left(y-\sqrt{3+y^2}\right)=x-\sqrt{3+x^2}+x+\sqrt{3+x^2}\\ < =>-2y=2x\\ < =>2x+2y=0\\ < =>x+y=0\)

a: Xét tứ giác AEIF có \(\widehat{AEI}=\widehat{AFI}=\widehat{FAE}=90^0\)

nên AEIF là hình chữ nhật

=>AE=FI; AF=EI

Ta có: ABCD là hình vuông

=>BD là phân giác của góc ABC; DB là phân giác của góc ADC

=>\(\widehat{ABD}=\widehat{CBD}=\widehat{ADB}=\widehat{CDB}=45^0\)

Xét ΔDEI vuông tại E có \(\widehat{EDI}=45^0\)

nên ΔDEI vuông cân tại E

Xét ΔFIB vuông tại F có \(\widehat{FBI}=45^0\)

nên ΔFIB vuông cân tại F

b: Ta có: AF=EI

mà EI=ED

nên AF=ED

Xét ΔAFD vuông tại A và ΔDEC vuông tại D có

AF=DE

AD=DC

Do đó: ΔAFD=ΔDEC

=>\(\widehat{ADF}=\widehat{DCE}\)

=>\(\widehat{ADF}+\widehat{DEC}=90^0\)

=>CE\(\perp\)DF

c: Ta có: BF=FI

mà FI=AE

nên BF=AE

Xét ΔAEB vuông tại A và ΔBFC vuông tại B có

AE=BF

AB=BC

Do đó: ΔAEB=ΔBFC

=>\(\widehat{ABE}=\widehat{BCF}\)

=>\(\widehat{ABE}+\widehat{BFC}=90^0\)

=>CF\(\perp\)BE

B5: 

a) Thay x = 1 và y = 2 vào pt ta có:

\(m\cdot1+2-5=0\\ =>m-3=0\\ =>m=3\) 

b) A(0;3) thuộc đường thẳng 4x - my - 6 = 0

=> Thay x = 0 và y = 3 vào đường thẳng ta có:

\(4\cdot0-m\cdot3-6=0\\ =>0-3m-6=0\\=> -3m-6=0\\ =>-3m=6\\ =>m=\dfrac{6}{-3}=-2\) 

B11: 

Ta có: 

\(\left\{{}\begin{matrix}2x+3y=7\\x-3y=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x=6\\x-3y=-1\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{6}{3}=2\\2-3y=-1\end{matrix}\right. \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\3y=2+1=3\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=\dfrac{3}{3}=1\end{matrix}\right.\)

=> Cặp (2;1) là nghiệm của hpt

B12: 

Ta có

\(\left\{{}\begin{matrix}4x+5y=3\\x-3y=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x+5y=3\\4x-12y=20\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}17y=-17\\x-3y=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{-17}{17}=-1\\x+3=5\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=-1\\x=5-3=2\end{matrix}\right.\)

=> Cặp (2;-1) là nghiệm của hpt

\(\left\{{}\begin{matrix}2x+y=-1\\3y-x=7m-10\end{matrix}\right. \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6x+3y=-3\\-x+3y=7m-10\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x+y=-1\\7x=7-7m\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\left(1-m\right)+y=-1\\x=1-m\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=-1-2\left(1-m\right)=2m-3\\x=1-m\end{matrix}\right.\)

 \(x^2-2y=\left(1-m\right)^2-\left(2m-3\right)\)

\(=1-2m+m^2-2m+3=m^2-4m+4\\ =\left(m-2\right)^2\)

Ta có: \(\left(m-2\right)^2\ge0\forall m=>x^2-2y\ge0\forall m\)

Dấu "=" xảy ra: \(m-2=0< =>m=2\)

Vậy: \(Min_{x^2-2y}=0< =>m=2\)

a: ĐKXĐ: \(x\notin\left\{1;-1\right\}\)

b: \(B=\dfrac{x-1}{x+1}-\dfrac{x-1}{x+1}-\dfrac{4}{1-x^2}\)

\(=-\dfrac{4}{1-x^2}=\dfrac{4}{x^2-1}\)

\(x^2-x=0\)

=>x(x-1)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=0\left(nhận\right)\\x=1\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Khi x=0 thì \(B=\dfrac{4}{0^2-1}=\dfrac{4}{-1}=-4\)

c: B=-3

=>\(\dfrac{4}{x^2-1}=-3\)

=>\(x^2-1=-\dfrac{4}{3}\)

=>\(x^2=-\dfrac{4}{3}+1=-\dfrac{1}{3}< 0\)

=>Không có giá trị nào của x thỏa mãn

d: Để B nguyên thì \(4⋮x^2-1\)

=>\(x^2-1\in\left\{1;-1;2;-2;4;-4\right\}\)

=>\(x^2\in\left\{2;0;3;5\right\}\)

mà x nguyên

nên x=0

e: Để B<0 thì \(\dfrac{4}{x^2-1}< 0\)

=>\(x^2-1< 0\)

=>\(x^2< 1\)

=>-1<x<1

mà x nguyên

nên x=0

f: Để B>=0 thì \(\dfrac{4}{x^2-1}>=0\)

=>x²-1>0

=>(x-1)(x+1)>0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x>1\\x< -1\end{matrix}\right.\)

cái gì dợ

trình và trinh

a)

 \(2\sqrt{x}< 16\\ \Leftrightarrow\sqrt{x}< 8\\ \Leftrightarrow x< 64\)

Vậy...

b)

\(3\sqrt{x}+2=0\\ \Leftrightarrow3\sqrt{x}=-2\\ \Leftrightarrow\sqrt{x}=-\dfrac{2}{3}\)

Nhận xét:

\(\sqrt{x}\) xác định khi và chỉ khi \(\sqrt{x}>0\)

Mà \(-\dfrac{2}{3}< 0\) nên:

Không có giá trị x thoả mãn

Vậy...

c)

\(\sqrt{1-2x^2}=x-1\)

Nhận xét:

\(\sqrt{1-2x^2}\) xác định khi và chỉ khi \(\sqrt{1-2x^2}>0\)

Suy ra:

\(x-1>0\)

\(\Leftrightarrow x>1\)

\(\Leftrightarrow1-2x^2< 0\) (vô lí)

Vậy...

d)

 \(2\sqrt{x}-6>0\\ \Leftrightarrow2\sqrt{x}>6\\ \Leftrightarrow\sqrt{x}>3\\ \Leftrightarrow x>9\)

Vậy...

a: Xét (O) có

ΔABC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔABC vuông tại A

Xét ΔABC vuông tại A có \(cosABC=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}\)

nên \(\widehat{ABC}=60^0\)

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC=\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt{3}\left(cm\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BH\cdot BC=AB^2;CH\cdot CB=CA^2\)

=>\(BH\cdot10=5^2=25;CH\cdot10=\left(5\sqrt{3}\right)^2=75\)

=>BH=25:10=2,5(cm); CH=75/10=7,5(cm)

b:

ΔAHB vuông tại H

=>\(HA^2+HB^2=AB^2\)

=>\(HA=\sqrt{5^2-2,5^2}=\dfrac{5\sqrt{3}}{2}\left(cm\right)\)

Xét (I) có

ΔAEH nội tiếp

AH là đường kính

Do đó: ΔAEH vuông tại E

=>HE\(\perp\)AB tại E

Xét (I) có

ΔAFH nội tiếp

AH là đường kính

Do đó: ΔAFH vuông tại F

=>HF\(\perp\)AC tại F

Xét tứ giác AEHF có

\(\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=\widehat{FAE}=90^0\)

=>AEHF là hình chữ nhật

=>EF=AH

=>\(EF=\dfrac{5\sqrt{3}}{2}\left(cm\right)\)

c) Xét đường tròn (I) có đường kính AH \(\Rightarrow\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=90^o\).

Tam giác AHB vuông tại H có đường cao HE nên \(AH^2=AE.AB\). Tương tự, ta có \(AE.AB=AF.AC=AH^2\)

\(\Rightarrow\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\)

Tam giác AEF và ACB có:

\(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\left(cmt\right);\widehat{BAC}\) chung

\(\Rightarrow\Delta AEF\sim\Delta ACB\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{AEF}=\widehat{ACB}\)

\(\Rightarrow\) Tứ giác BEFC nội tiếp

 Gọi tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BEFC là J.

 Khi đó, ta có S thuộc trục đẳng phương AM của (O) và (I), đồng thời S cũng thuộc trục đẳng phương BC của (O) và (J), do đó S thuộc trục đẳng phương EF của (I) và (J) hay S, E, F thẳng hàng. (đpcm)