Gọi `x` (giờ) là số giờ người thứ nhất còn cách B một quãng đường gấp đôi quãng đường từ người hai đến B

ĐK: `x>0`

Quãng đường người thứ nhất đi được đến thời điểm đó là: `12x(km)`

Độ dài quãng đường còn lại của người thứ nhất đến B là: `72-12x(km)`

Quãng đường người thứ hai đi được đến thời điểm đó là: `15x(km)`

Độ dài quãng đường còn lại của người thứ hai đến B là: `72-15x(km)`

Vì độ dài quãng đường còn lại của người thứ nhất gấp đôi độ dài quãng đường của người thứ hai nên ta có:

`72-12x=2(72-15x)`

`<=>72-12x=144-30x`

`<=>-12x+30x=144-72`

`<=>18x=72`

`<=>x=72/18`

`<=>x=4(N)`

Vậy sau 4 giờ thì quãng đường còn lại của người thứ nhất đến B gấp đôi độ dài còn lại của người thứ hai đến B

CM: \(x^4\) + 9y\(^4\) ≥ 6\(x^2\)y\(^2\)

Xét: A = \(x^4\) + 9\(y^4\) - 6\(x^2y^2\)

A = \(\left(x^2\right)^2\) - 2.\(x^2\).3y\(^2\) + (3y\(^2\))\(^2\)

A = (\(x^2\) - 3y\(^2\))\(^2\) ≥ 0 ∀ \(x;y\)

⇒ \(x^4\) + 9\(y^4\) - 6\(x^2y^2\) ≥ 0 ∀ \(x;y\)

⇒ \(x^4+9y^2\) ≥ 6\(x^2y^2\) ∀ \(x;y\) (đpcm)

\(x^4+9y^4\ge6x^2y^2\)

=>\(x^4+9y^4-6x^2y^2\ge0\)

=>\(\left(x^2\right)^2-2\cdot x^2\cdot3y^2+\left(3y^2\right)^2\ge0\)

=>\(\left(x^2-3y^2\right)^2\ge0\forall x,y\) (luôn đúng)

a: \(3x^2+7x-6\)

\(=3x^2+9x-2x-6\)

=3x(x+3)-2(x+3)

=(x+3)(3x-2)

b: \(x^4+x^3-x^2-3x-6\)

\(=x^4+x^3+2x^2-3x^2-3x-6\)

\(=x^2\left(x^2+x+2\right)-3\left(x^2+x+2\right)=\left(x^2+x+2\right)\left(x^2-3\right)\)

c: \(x^4+5x^3+5x^2-5x-6\)

\(=x^4-x^3+6x^3-6x^2+11x^2-11x+6x-6\)

\(=x^3\left(x-1\right)+6x^2\left(x-1\right)+11x\left(x-1\right)+6\left(x-1\right)\)

\(=\left(x-1\right)\left(x^3+6x^2+11x+6\right)\)

\(=\left(x-1\right)\left(x^3+x^2+5x^2+5x+6x+6\right)\)

\(=\left(x-1\right)\left\lbrack x^2\left(x+1\right)+5x\left(x+1\right)+6\left(x+1\right)\right\rbrack\)

\(=\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2+5x+6\right)=\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\)

A = \(x^4\) - \(x^2\) + 5

A = [\(\left(x^2\right)^2\) - 2.\(^{}x^2\).\(\frac12\) + \(\frac14\)] + \(\frac{19}{4}\)

A = [\(x^2\) - \(\frac12\)]\(^2\) + \(\frac{19}{4}\)

Vì [\(x^2\) - \(\frac12\)]\(^2\) ≥ 0 ∀\(x\)

⇒ A = [\(x^2-\frac12\)]\(^2\) + \(\frac{19}{4}\) ≥ \(\frac{19}{4}\) > 0 ∀ \(x\) (đpcm)

\(\left(x^2y^2+\frac16x^3y^2-x^5y^4\right):\frac12xy^2\)

\(=x^2y^2:\frac12xy^2+\frac16x^3y^2:\frac12xy^2-x^5y^4:\frac12xy^2\)

\(=2x+\frac13x^2-2x^4y^2\)

Olm chào em, cảm ơn đánh giá của em về chất lượng bài giảng của Olm, cảm ơn em đã đồng hành cùng Olm trên hành trình tri thức. Chúc em học tập hiệu quả và vui vẻ cùng Olm em nhé!

Olm chào em, cảm ơn đánh giá của em về chất lượng bài giảng của Olm, cảm ơn em đã đồng hành cùng Olm trên hành trình tri thức. Chúc em học tập hiệu quả và vui vẻ cùng Olm em nhé!

`x^2+y^2-4xy=3`

`=>4x^2+4y^2-4xy=12`

`=>(4x^2-4xy+y^2)+3y^2=12`

`=>[(2x)^2-2*2x*y+y^2]+3y^2=12`

`=>(2x-y)^2+3y^2=12`

`=>(2x-y)^2=12-3y^2`

Vì: `(2x-y)^2>=0\AAx,y`

`=>12-3y^2>=0`

`=>3y^2<=12`

`=>y^2<=12/3=4`

Mà: `y^2>=0\AAy=>0<=y^2<=4`

`=>0<=y<=2`

Vì: `y∈Z=>y∈{0;1;2}`

`TH1:y=0=>x^2+0^2-x*0=3`

`=>x^2=3`

`=>x=+-\sqrt{3}∉Z=>` (loại)

`TH2:y=1=>x^2+1^2-x*1=3`

`=>x^2-x+1=3`

`=>x^2-x-2=0`

`=>(x+1)(x-2)=0`

`=>x=-1(N)` hoặc `x=2(N)`

`TH3:y=2=>x^2+2^2-x*2=3`

`=>x^2+4-2x=3`

`=>x^2-2x+1=0`

`=>(x-1)^2=0`

`=>x-1=0=>x=1(N)`

Vậy: `(x;y)={(1;2);(-1;1);(2;1)}`

Olm chào em, cảm ơn đánh giá của em về chất lượng bài giảng của Olm, cảm ơn em đã đồng hành cùng Olm trên hành trình tri thức. Chúc em học tập hiệu quả và vui vẻ cùng Olm em nhé!

CM: a\(^2\) + b\(^2\) + c\(^2\) = (a + b + c)\(^2\) - 2(ab + bc + ca)

Olm chào em, đây là toán nâng cao chuyên đề chứng minh đẳng thức, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết như sau:

Ta có:

(a + b + c)\(^2\) = [(a + b) + c]\(^2\)

⇒ (a + b + c)\(^2\) = (a + b)\(^2\) + 2(a + b)c + c\(^2\)

⇒ (a + b + c)\(^2\) = a\(^2\) + 2ab + \(b^2\) + 2ac + 2bc + c\(^2\)

⇒(a + b + c)\(^2\) = (a\(^2+b^2+c^2\)) + 2(ab + bc + ac)

⇒a\(^2+b^2+c^2\) = (a + b + c)\(^2\) - 2(ab + bc +ac) (đpcm)