1   ĐKXD \(x\ge1\)

.\(2x^2+5x-1=7\sqrt{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\)

Đặt \(\sqrt{x-1}=a;\sqrt{x^2+x+1}=b\left(a,b\ge0\right)\)

=> \(2b^2+3a^2=2x^2+5x-1\)

=> \(2b^2+3a^2-7ab=0\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}a=2b\\a=\frac{1}{3}b\end{cases}}\)

+ \(a=2b\)

=> \(2\sqrt{x^2+x+1}=\sqrt{x-1}\)

=> \(4x^2+3x+5=0\)vô nghiệm

+ \(a=\frac{1}{3}b\)

=> \(\sqrt{x^2+x+1}=3\sqrt{x-1}\)

=> \(x^2-8x+10=0\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}x=4+\sqrt{6}\left(tmĐK\right)\\x=4-\sqrt{6}\left(kotmĐK\right)\end{cases}}\)

Vậy \(x=4+\sqrt{6}\)

ĐKXĐ:\(2x^2-1\ge0;x^2-3x-2\ge0;2x^2+2x+3\ge0;x^2-x+2\ge0\)

\(\sqrt{2x^2-1}+\sqrt{x^2-3x-2}=\sqrt{2x^2+2x+3}+\sqrt{x^2-x+2}\)

<=> \(\left(\sqrt{2x^2+2x+3}-\sqrt{2x^2-1}\right)+\left(\sqrt{x^2-x+2}-\sqrt{x^2-3x-2}\right)=0\)

 \(\Leftrightarrow\frac{2x+4}{\sqrt{2x^2+2x+3}+\sqrt{2x^2-1}}+\frac{2x+4}{\sqrt{x^2-x+2}+\sqrt{x^2-3x-2}}=0\)

<=> \(\left(2x+4\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2x^2+2x+3}+\sqrt{2x^2-1}}+\frac{1}{\sqrt{x^2-x+2}+\sqrt{x^2-3x-2}}\right)=0\)(1)

Vì \(\frac{1}{\sqrt{2x^2+2x+3}+\sqrt{2x^2-1}}+\frac{1}{\sqrt{x^2-x+2}+\sqrt{x^2-3x-2}}>0\)

nên pt(1) <=> \(2x+4=0\Leftrightarrow x=-2\)(tmđk)

Vậy x=-2

Em kiểm tra lại đề bài câu trên nhé

\(\sqrt{x^2-6x+13}=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-6x+13=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-6x+9+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2+4=0\)

Mà: \(\left(x+3\right)^2+4\ge4>0\forall x\)

=> Không có giá trị của x thỏa mãn

\(\sqrt{x^2+4}=x+2\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2+4=\left(x+2\right)^2\\x+2>0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2+4=x^2+4x+4\\x>-2\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=0\left(tm\right)\\x>-2\end{cases}}\)

Vậy: PT có tập nghiệm S = { 0 }

=.= hk tốt!!

Phần d mình ghi sai 

d)\(\sqrt{X^2+1}=-3\)

Pần d như trên mới đúng

Lời giải :

a) \(\sqrt{x-1}=3\)

\(\Leftrightarrow\left|x-1\right|=9\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-1=9\\x-1=-9\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=10\left(chon\right)\\x=-8\left(loai\right)\end{cases}}}\)

b) \(\sqrt{x^2+x+1}=1\)

\(\Leftrightarrow x^2+x+1=1\)

\(\Leftrightarrow x^2+x=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=-1\end{cases}}\)( thỏa )

c) \(\sqrt{x}=\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow\left|x\right|=3\)

\(\Leftrightarrow x=3\)( thỏa )

d) \(\sqrt{x^2+1}=-3\)

Vì \(\sqrt{x^2+1}>0\forall x\)

Do đó pt vô nghiệm

A B C D K 1 2 1 2 H

a)

Xét tam giác vuông CIH và tam giác vuông CBK có: 

có góc C chung

=> \(\Delta CIH~\Delta CBK\)( góc -góc)

=> \(\frac{CI}{CB}=\frac{CH}{CK}\Rightarrow CI.CK=CB.CH\) (1)

Mặt khác: Xét tam giác ABC  vuoonh tại A và có đường cao AH

=> \(AC^2=CH.CB\)( hệ thức lượng trong tam giác vuông) (2)

Từ (1) và (2) => \(CI.CK=CA^2\)

b)  Do D đối xứng với A qua H

=> HA=HD mà AH vuông BC

=> BC là đường trung trực AD

=> AB=DB, AC= DC

Xét tam giác CAB và Tam giác CDB có: BC chung, AB=BD, AC=DC

=> \(\Delta CAB=\Delta CDB\) ( c-c-c)

=> \(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}\)(3) 

 và \(\widehat{CDB}=\widehat{CAB}=90^o\) ( các góc tương ứng bằng nhau)

Xét tứ giác CAKB có: \(\widehat{CAB}=\widehat{CKB}=90^o\)

=> TỨ giác CAKB nội tiếp  ( vì có hai góc nội tiếp chắn một cung bằng nhau)

=> \(\widehat{B_1}=\widehat{K_1}\)(4)

Xét tứ giác CKBD có: \(\widehat{CDB}+\widehat{CKB}=90^o+90^o=180^o\)

=> Tứ giác CKBD nội tiếp ( vì có tổng  hai góc đối bằng 180^o)

=> \(\widehat{B_2}=\widehat{K_2}\)(5)

Từ (3), (4), (5)

=> \(\widehat{K_2}=\widehat{K_1}\)

=> KC là phân giác góc AKD

cô ghi thiếu chữ i cô ạ

K O C A B I H 1 1

Xét tam giác ABO vuông tại B và ACO  vuông tại C

có: AB=AC , AO chung

=> \(\Delta ABO=\Delta ACO\)

=> BO=CO

Xét tam giác DBC có: BO=CO=KO

=> Tam giác KBC vuông tại B

=> KB vuông góc với CI

Xét tam giác IKC vuông tại K có KB là dường cao

=> \(BK^2=IB.BC\Rightarrow\frac{BK}{IB}=\frac{BC}{BK}\)(1)

Ta có tam giác OBK vuông cân tại O và tam giác ABC cân tại A

=> \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB};\widehat{OBK}=\widehat{OKB}\)(2)

mà \(\widehat{OBK}+\widehat{OBC}=\widehat{CBK}=90^o=\widehat{ABO}=\widehat{ABC}+\widehat{OBC}\)

=> \(\widehat{OBK}=\widehat{ABC}\)(3)

Từ (2) và (3) suy ra : \(\frac{AB}{BO}=\frac{BC}{BK}\)(4)

Từ (1) và (4) 

=> \(\frac{BK}{BI}=\frac{AB}{BO}\)

Xét tam giác IBO và tam giác KBA có:

\(\frac{BK}{BI}=\frac{AB}{BO}\)( chứng minh trên)

\(\widehat{IBO}=\widehat{KBA}\)( vì \(\widehat{IBK}=\widehat{OBA}=90^o\))

=> \(\Delta IBO~\Delta KBA\)

=> \(\widehat{A_1}=\widehat{O_1}\)

Gọi giao điểm của IO và AK là H

=> \(\widehat{BAH}=\widehat{BOH}\)

=> BAOH nội tiếp

=> \(\widehat{OHA}=\widehat{OBA}=90^o\)

( Nếu chua học nội tiếp em hãy xét hai tam giác đồng dạng)

=> IO vuông AK

\(a,\)\(\frac{\left(2-\sqrt{x}\right)^2-\left(\sqrt{x}+3\right)}{1+2\sqrt{x}}=\frac{4-4\sqrt{x}+x-\sqrt{x}-3}{1+2\sqrt{x}}.\)\(=\frac{x-5\sqrt{x}+1}{1+2\sqrt{x}}\)

\(b,\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{\left(x-y\right)\left(\sqrt{x^3+x}\right)}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\sqrt{x}\left(x-y\right)}{\left(x-y\right)\sqrt{x}\left(\sqrt{x^2+1}\right)}=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x^2+1}}\)