\(\dfrac{1}{4\cdot7}+\dfrac{1}{7\cdot10}+...+\dfrac{1}{61\cdot64}\)

\(=\left(\dfrac{3}{4\cdot7}+\dfrac{3}{7\cdot10}+...+\dfrac{3}{61\cdot64}\right):3\)

\(=\left(\dfrac{7-4}{4\cdot7}+\dfrac{10-7}{7\cdot10}+...+\dfrac{64-61}{61\cdot64}\right):3\)

\(=\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{10}+...+\dfrac{1}{61}-\dfrac{1}{64}\right):3\)

\(=\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{64}\right):3\)

\(=\dfrac{15}{64}:3\)

\(=\dfrac{15}{192}=\dfrac{5}{64}\)

\(\dfrac{1}{12}=\dfrac{5}{60}\)

Vì \(64>60\) nên \(\dfrac{5}{64}< \dfrac{5}{60}\) hay \(\dfrac{1}{4\cdot7}+\dfrac{1}{7\cdot10}+...+\dfrac{1}{61\cdot64}< \dfrac{1}{12}\)

 

Để chứng minh rằng 1/4.7 + 1/7.10 + ... + 1/61.64 < 1/12, ta sẽ sử dụng phương pháp chứng minh bằng quy nạp. Đặt S = 1/4.7 + 1/7.10 + ... + 1/61.64. Ta sẽ chứng minh rằng S < 1/12 bằng cách chứng minh S < 1/12 - 1/64. Ta có: S = 1/4.7 + 1/7.10 + ... + 1/61.64 = (1/4 - 1/7) + (1/7 - 1/10) + ... + (1/61 - 1/64) = 1/4 - 1/64. Vậy, ta có S < 1/12 - 1/64 = 8/96 - 1/96 = 7/96. Do đó, ta có 1/4.7 + 1/7.10 + ... + 1/61.64 < 7/96. Để chứng minh rằng 7/96 < 1/12, ta có: 7/96 = 7/8 * 1/12 = 7/96 < 1/8 * 1/12 = 1/96. Vậy, ta có 1/4.7 + 1/7.10 + ... + 1/61.64 < 7/96 < 1/12. Do đó, ta đã chứng minh được rằng 1/4.7 + 1/7.10 + ... + 1/61.64 < 1/12. Để chứng minh bất đẳng thức 1/4.7 + 1/7.10 + ... + 1/61.64 < 1/12, chúng ta có thể sử dụng khái niệm của dãy hội tụ. Hãy xem xét phần tử tổng quát của dãy, 1/(3n-2)(3n+1), trong đó n dao động từ 1 đến 20. Chúng ta có thể viết lại phần tử này dưới dạng (1/3)(1/(n-1/3)(n+1/3)). Bây giờ, hãy đơn giản hóa phần tử này thêm: (1/3)(1/(n-1/3)(n+1/3)) = (1/3)((n+1/3) - (n-1/3))/(n-1/3)(n+1/3) = (1/3)(2/3)/(n-1/3)(n+1/3) = 2/9(n-1/3)(n+1/3). Bây giờ, hãy viết lại dãy sử dụng dạng đơn giản này: 1/4.7 + 1/7.10 + ... + 1/61.64 = 2/9(1-1/3)(1+1/3) + 2/9(2-1/3)(2+1/3) + ... + 2/9(20-1/3)(20+1/3). Tiếp theo, chúng ta có thể thấy rằng các thành phần trong ngoặc đơn đều có dạng (n-1/3)(n+1/3), cho nên chúng ta có thể rút gọn chúng: = 2/9(2/3) + 2/9(5/3) + ... + 2/9(59/3) + 2/9(62/3). Tiếp theo, chúng ta có thể rút gọn hằng số 2/9: = (2/9)(2/3 + 5/3 + ... + 59/3 + 62/3). Cuối cùng, chúng ta có thể rút gọn tổng các phân số: = (2/9)(2/3 + 5/3 + ... + 59/3 + 62/3) = (2/9)(1/3 + 2/3 + ... + 19/3 + 20/3). Bây giờ, chúng ta có thể thấy rằng tổng các phân số này là tổng của dãy hình học có công bội là 1/3 và có 20 phần tử. = (2/9)(1/3 + 2/3 + ... + 19/3 + 20/3) = (2/9)(20/3) = 40/27. Vậy, ta có 1/4.7 + 1/7.10 + ... + 1/61.64 = 40/27 < 1/12.

\(\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{4}\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{9}=\dfrac{y^2}{16}\)

\(\dfrac{z}{5}=\dfrac{z^2}{25}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

\(\dfrac{x^2+y^2}{9+16}=\dfrac{x^2+y^2}{25}=\dfrac{225}{25}=9\)

\(\Rightarrow x=\sqrt{9\cdot9}=9\)

\(\Rightarrow y=\sqrt{9\cdot16}=12\)

\(\Rightarrow z=\sqrt{9\cdot25}=15\)

\(\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{4}=\dfrac{z}{5}\)

\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{9}=\dfrac{y^2}{16}=\dfrac{x^2+y^2}{9+16}=\dfrac{225}{25}=9\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=9.9=81\\y^2=16.9=144\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=9\\y=12\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow z=\dfrac{9}{3}.5=15\)

Vậy \(\left\{{}\begin{matrix}x=9\\y=12\\z=15\end{matrix}\right.\) thỏa đề bài

a) Đa thức biểu diễn tổng số tiền Bà Ngọc phải trả :

\(45000.x+62000.y+72000.z\left(đồng\right)\)

b) \(x=1,5;y=3;z=2\)

Số tiền Bà Ngọc phải trả khi mua 1,5 kg vải; 3 kg cam; 2 kg nho là :

\(45000.1,5+62000.3+72000.2\)

\(=67500+186000+144000\)

\(=397500\left(đồng\right)\)

Bn ơi, vt lại hộ mik với

Đau đầu qué!!!!!!!

Bài dài quá mình chịu ạ

a/ 

\(MP\perp AC;NA\perp AC\) => MP//NA

\(MN\perp AB;PA\perp AB\) => MN//PA

=> ANMP là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

Ta có \(\widehat{A}=90^o\)

=> ANMP là hình chữ nhật (hbh có 1 góc vuông là HCN)

b/

MN//PA (cmt) => MN//AC

MB=MC (gt)

=> NA=NB (trong tg đường thẳng đi qua trung điểm của 1 cạnh và // với 1 cạnh thì đi qua trung điểm cạnh còn lại)

C/m tương tự cũng có PA=PC

Ta có

MP//NA (cmt) => MP//NB

NA=NB; PA=PC => NP là đường trung bình của tg ABC

=> NP//BC => NP//MB

=> BMPN là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

c/

Xét HCN ANMP có

FM=FA (trong HCN 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

EM=EB (gt)

=> EF là đường trung bình của tg MAB => EF//AB

=> ABEF là hình thang

Ta có

MB=MC => AM=MB=MC=BC/2 (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

Ta có

FM=FA=AM/2

EB=EM=BM/2

=> FA=EB

=> ABEF là hình thang cân

d/

 

 

Vì ABCD là hbh nên => AB=DC, AD=BC

có M là tđ của AB, P là trung điểm của DC mà AB=DC=>MB=DP (1)

N là tđ của BC, Q là tđ của AD mà AD=BC=> QD=BN (2)

Có góc QDB=góc MBN (ABCD là hbh) (3)

(1),(2),(3)=> tam giác MPN=tam giác QDP=>QP=MN

tương tự, cm QM=PN=> tứ giác QMNP có QM=BN, QP=MN => Tứ giác MNPQ là hbh( có hai cặp cạnh đối bằng nhau)