Số chẵn lớn nhất có hai chữ số là : 98

Số thứ hai là :

       98-23=75

tổng ba số đó là :

         83.3=249

Số thứ ba là :

          249-98-75=76

                  đs...

Số thứ nhất là 98

Số thứ hai là: 98 - 23= 75

Số thứ ba là: 83 x 3 - (75 + 98) = 76

Các bài này đều giải bằng cách đưa về hệ phương trình bậc nhất.

a) Đặt \(u=\dfrac{1}{x-1};v=\dfrac{1}{y-2}\), hệ phương trình trở thành

\(\left\{{}\begin{matrix}6u-5v=7\\3u+2v=1\end{matrix}\right.\)

b) Đặt \(z=x^2\left(z\ge0\right)\), hệ phương trình trở thành

\(\left\{{}\begin{matrix}2z+3y=17\\3z-2y=6\end{matrix}\right.\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:

\(\left(a+1\right)\left(a+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

\(\Rightarrow\dfrac{a+1}{\left(a+b\right)^2}\ge\dfrac{1}{a+b^2}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(b=1\)

\(3x+7y=55\)

\(\Leftrightarrow3x-6=49-7y\)

\(\Rightarrow3\left(x-2\right)=7\left(7-y\right)\)

Do 3 và 7 nguyên tố cùng nhau

\(\Rightarrow x-2⋮7\Rightarrow x-2=7k\)

\(\Rightarrow x=7k+2\) \(\left(k\in Z\right)\)

\(\Rightarrow y=7-3k\)

Mà x;y nguyên dương \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}7k+2>0\\7-3k>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow-\dfrac{2}{7}< k< \dfrac{7}{3}\)

\(\Rightarrow k=\left\{0;1;2\right\}\)

\(\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(2;7\right);\left(9;4\right);\left(16;1\right)\)

3x + 7y = 55

học sinh đc nghiệm nguyên tổng quát của phương trình trên :

{x-110+7t

{y=55-3t

{x>0<=>{-110+7t>0(t thuộc z)<=>{t>110/7

{y>0<>={55-3t>0                          {t<55/3    (t thuộc z)>T thuộc {16;17;18}

vậy phương trình trên có 3 nghiệm dương là:

(2;7);(9;4);(16;1).

bạn tự trình bày nhé 

Đặt \(P=\dfrac{a}{\sqrt{b+\sqrt{ac}}}+\dfrac{b}{\sqrt{c+\sqrt{ab}}}+\dfrac{c}{\sqrt{a+\sqrt{bc}}}\)

Áp dụng BĐT Holder:

\(P^2.\left[a\left(b+\sqrt{ac}\right)+b\left(c+\sqrt{ab}\right)+c\left(a+\sqrt{bc}\right)\right]\ge\left(a+b+c\right)^3\)

\(\Rightarrow P^2\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^3}{a\left(b+\sqrt{ac}\right)+b\left(c+\sqrt{ab}\right)+c\left(a+\sqrt{bc}\right)}\)

Mặt khác:

\(a\left(b+\sqrt{ac}\right)+b\left(c+\sqrt{ab}\right)+c\left(a+\sqrt{bc}\right)\le a\left(b+\dfrac{a+c}{2}\right)+b\left(c+\dfrac{a+b}{2}\right)+c\left(a+\dfrac{b+c}{2}\right)\)

\(=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2+ab+bc+ca}{2}\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2}{2}=\dfrac{2\left(a+b+c\right)^2}{3}\)

\(\Rightarrow P^2\ge\dfrac{3\left(a+b+c\right)}{2}\ge\dfrac{9\sqrt[3]{abc}}{2}\ge\dfrac{9}{2}\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{3}{\sqrt{2}}\)