a: Xét ΔABF và ΔAEC có

AB=AE

\(\widehat{BAF}=\widehat{EAC}\)(hai góc đối đỉnh)

AF=AC

Do đó: ΔABF=ΔAEC

=>BF=EC

Xét ΔAEF và ΔABC có

AE=AB

\(\widehat{EAF}=\widehat{BAC}\)(hai góc đối đỉnh)

AF=AC

Do đó: ΔAEF=ΔABC

=>\(\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên EF//BC

b: Ta có: FM+MB=FB

=>FB=2MF+MF=3MF

mà CE=3CN

và FB=CE

nên MF=CN

Xét ΔAFM và ΔACN có

AF=AC

\(\widehat{AFM}=\widehat{ACN}\)(ΔAFB=ΔACE)

FM=CN

Do đó: ΔAFM=ΔACN

=>\(\widehat{FAM}=\widehat{CAN}\)

mà \(\widehat{FAM}+\widehat{MAC}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{CAN}+\widehat{CAM}=180^0\)

=>M,A,N thẳng hàng

a: Xét ΔMAB và ΔMDC có

MA=MD

\(\widehat{AMB}=\widehat{DMC}\)(hai góc đối đỉnh)

MB=MC

Do đó: ΔMAB=ΔMDC

b: ta có: ΔMAB=ΔMDC

=>\(\widehat{MAB}=\widehat{MDC}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AB//CD

Ta có: ΔMAB=ΔMCD

=>AB=CD

mà AB<AC

nên CD<CA

=>\(\widehat{CAD}< \widehat{CDA}\)

mà \(\widehat{CDA}=\widehat{BAM}\)

nên \(\widehat{CAM}< \widehat{BAM}\)

c: Xét ΔAHM vuông tại H và ΔDKM vuông tại K có

MA=MD

\(\widehat{AMH}=\widehat{DMK}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔAHM=ΔDKM

=>AH=DK

d: Ta có: AM>AH(ΔAHM vuông tại H)

DM>DK(ΔDKM vuông tại K)

Do đó: AM+DM>AH+DK

=>AD>2DK

e:

Ta có: AG=2GM

mà AG+GM=AM

nên \(AG=\dfrac{2}{3}AM\)

Xét ΔBAC có

AM là đường trung tuyến

\(AG=\dfrac{2}{3}AM\)

Do đó: G là trọng tâm của ΔABC

Xét ΔABC có

G là trọng tâm của ΔABC

BG cắt AC tại N

CG cắt AB tại P

Do đó: N là trung điểm của AC, P là trung điểm của AB

Xét ΔABC có

G là trọng tâm của ΔABC

BN,CP là các đường trung tuyến

Do đó: \(BG=\dfrac{2}{3}BN;CG=\dfrac{2}{3}CP\)

Xét ΔGAB có GA+GB>AB

Xét ΔGAC có GA+GC>AC

Xét ΔGBC có GB+GC>BC

Do đó: \(2\left(GA+GB+GC\right)>AB+AC+BC\)

=>\(GA+GB+GC>\dfrac{AB+AC+BC}{2}\)

=>\(\dfrac{2}{3}\left(AM+BN+CP\right)>\dfrac{AB+AC+BC}{2}\)

=>\(AM+BN+CP>\dfrac{3}{4}\cdot\left(AB+AC+BC\right)\)

\(\dfrac{2}{3}:\left(x-\dfrac{1}{3}\right)^3-9=\dfrac{23}{3}\)

=>\(\dfrac{2}{3}:\left(x-\dfrac{1}{3}\right)^3=\dfrac{23}{3}+9=\dfrac{50}{3}\)

=>\(\left(x-\dfrac{1}{3}\right)^3=\dfrac{2}{3}:\dfrac{50}{3}=\dfrac{1}{25}\)

=>\(x-\dfrac{1}{3}=\dfrac{\sqrt[3]{5}}{5}\)

=>\(x=\dfrac{\sqrt[3]{5}}{5}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{3\sqrt[3]{5}+5}{15}\)

x/2=y/3 => x/8=y/12

y/4=z/5 => y/12=z/15

=> x/8=y/12=z/15=x+y+z/8+12+15=5/35=1/7

x/8=1/7          y/12=1/7           z/15=1/7

x=8*1/7=8/7  y=12*1/7=12/7  z=15*1/7=15/7

A) vì ΔABC là Δ vuông tại A nên \(\widehat{A}=90^0\)

số đo của \(\widehat{C}\) là: \(\widehat{B}+\widehat{C}=\widehat{A}\Rightarrow\widehat{C}=\widehat{A}-\widehat{B}=90^0-60^0=30^0\)

TA CÓ: \(\widehat{A}>\widehat{B}>\widehat{C}\)

\(\Rightarrow BC>AC>AB\)

b) xét Δ vuông ABE và Δ vuông HBE, có:

\(\widehat{ABE}=\widehat{HBE}\left(gt\right)\)

BE là cạnh chung

⇒ ΔABE = ΔHBE (ch-gn)

⇒ AB = BH (2 cạnh tương ứng)

xét ΔABH có: AB = BH (cmt)

⇒ ΔABH là Δ cân

a) Ta có:

∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180⁰ (tổng ba góc trong ∆ABC)

⇒ ∠ABC + ∠ACB = 180⁰ - ∠BAC

= 180⁰ - 80⁰

= 100⁰

Do BI là tia phân giác của ∠ABC (gt)

⇒ ∠IBC = ∠ABC : 2

Do CI là tia phân giác của ∠ACB (gt)

⇒ ∠ICB = ∠ACB : 2

⇒ ∠IBC + ∠ICB = ∠ABC : 2 + ∠ACB : 2

= (∠ABC + ∠ACB) : 2

= 100⁰ : 2

= 50⁰

Ta có:

∠IBC + ∠ICB + ∠BIC = 180⁰ (tổng ba góc trong ∆IBC)

⇒ ∠BIC = 180⁰ - (∠IBC + ∠ICB)

= 180⁰ - 50⁰

= 130⁰

b) Ta có:

∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180⁰ (tổng ba góc trong ∆ABC)

⇒ ∠ABC + ∠ACB = 180⁰ - ∠BAC

= 180⁰ - 120⁰

= 60⁰

Do BI là tia phân giác của ∠ABC (gt)

⇒ ∠IBC = ∠ABC : 2

Do CI là tia phân giác của ∠ACB (gt)

⇒ ∠ICB = ∠ACB : 2

⇒ ∠IBC + ∠ICB = ∠ABC : 2 + ∠ACB : 2

= (∠ABC + ∠ACB) : 2

= 60⁰ : 2

= 30⁰

Ta có:

∠IBC + ∠ICB + ∠BIC = 180⁰ (tổng ba góc trong ∆IBC)

⇒ ∠BIC = 180⁰ - (∠IBC + ∠ICB)

= 180⁰ - 30⁰

= 150⁰