Cho các số không âm a, b, c. Chứng minh rằng:
\(\frac{a}{\sqrt{a+b}}+\frac{b}{\sqrt{b+c}}+\frac{c}{\sqrt{c+a}}\le\frac{5}{4}\sqrt{a+b+c}\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
đẳng thức \(\Leftrightarrow\)\(\left(\sin A-\sin B\right)^2+\left(\cos C-\frac{1}{2}\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}\sin A=\sin B\\\cos C=\frac{1}{2}\end{cases}}\Leftrightarrow\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=60^0\)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
<=> \(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(m+1\right)=\left(m+1\right)\left(m+1-1\right)=m\left(m+1\right)>0\)
<=> \(\orbr{\begin{cases}m>0\\m< -1\end{cases}}\)(@@)
Theo định lí vi et ta có: \(x_1x_2=m+1;x_2+x_2=-2\left(m+1\right)\)
Theo bài ra: \(\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)< 0\)
<=> \(x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1< 0\)
<=> 3 ( m + 1 ) + 1 < 0
<=> m < -4/3 thỏa mãn @@
Vậy...
Giúp với,, TT
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta được:
\(\left(\Sigma_{cyc}\frac{a}{\sqrt{a+b}}\right)^2=\)\(\left(\Sigma_{cyc}\sqrt{a\left(5a+b+9c\right)}.\sqrt{\frac{a}{\left(a+b\right)\left(5a+b+9c\right)}}\right)^2\)
\(\le\left(\Sigma_{cyc}a\left(5a+b+9c\right)\right)\left(\Sigma_{cyc}\frac{a}{\left(a+b\right)\left(5a+b+9c\right)}\right)\)
\(=5\left(a+b+c\right)^2\left(\Sigma_{cyc}\frac{a}{\left(a+b\right)\left(5a+b+9c\right)}\right)\)
Đến đây, ta cần chứng minh \(5\left(a+b+c\right)^2\left(\Sigma_{cyc}\frac{a}{\left(a+b\right)\left(5a+b+9c\right)}\right)\le\frac{25}{16}\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\Sigma_{cyc}\frac{a}{\left(a+b\right)\left(5a+b+9c\right)}\right)\le\frac{5}{16}\)
Thật vậy, ta có: \(\frac{5}{16}-\Sigma_{cyc}\frac{a}{\left(a+b\right)\left(5a+b+9c\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\sum_{cyc}ab(a+b)(a+9b)(a-3b)^2+243\sum_{cyc}a^3b^2c+835\sum_{cyc}a^3bc^2+232\sum_{cyc}a^4bc+1230a^2b^2c^2}{16(a+b)(b+c) (c+a)\prod_{cyc}(5a+b+9c)}\ge 0\) (đúng)
(Minh gõ bằng Latex, bạn chịu khó vô trang cá nhân của mình nhé, ngày 17/6 nha)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=3b;c=0\)