\(\left\{{}\begin{matrix}2x-5y=1\\x+5y=23\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-5y+x+5y=1+23\\x+5y=23\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x=24\\x+5y=23\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=8\\8+5y=23\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=8\\y=3\end{matrix}\right.\)

 Dễ dàng chứng minh rằng các số có dạng \(n^3\) khi chia cho 7 sẽ chỉ có các số dư là \(0,1,6\). (Bằng cách đặt \(n=7k+i\left(i=\overline{0,6}\right)\) rồi khai triển biểu thức \(\left(7k+i\right)^3=\left(7k\right)^3+3\left(7k\right)^2i+3.7k.i^2+i^3\) và xét số dư của \(i^3\) cho 7.

 Nếu trong 3 số a, b, c có 1 số chia hết cho 7 thì đương nhiên ta có đpcm.

 Nếu trong 3 số a, b, c không có số nào chia hết cho 7 (tức là không có số nào trong 3 số \(a^3,b^3,c^3\) chia hết cho 7), thì theo nguyên lí Dirichlet, tồn tại 2 số trong 3 số \(a^3,b^3,c^3\) có cùng số dư khi chia cho 7 (do lúc này chỉ còn 2 số dư là 1,6). Giả sử 2 số đó là \(a^3,b^3\). Khi đó \(a^3-b^3⋮7\) \(\Rightarrowđpcm\)

Vậy trong mọi trường hợp, ta đều có đpcm.

Chứng minh chiều thuận:

Giả sử có tam giác ABC cân tại A, đương nhiên trung tuyến và phân giác kẻ từ A của tam giác này trùng nhau. Mà trọng tâm D thuộc trung tuyến kẻ từ A, giao điểm các đường phân giác trong E thuộc phân giác trong kẻ từ A nên AD, AE trùng nhau, do đó A, D, E thẳng hàng.

Chứng minh chiều đảo:

Giả sử A, D, E thẳng hàng. Dễ thấy rằng khi đó AD, AE lần lượt là trung tuyến và phân giác trong của tam giác ABC. Mà A, D, E thẳng hàng \(\Rightarrow AD\equiv AE\), do đó tam giác ABC cân tại A (Dấu hiệu nhận biết)

À không, xin lỗi bạn, bài đó mình làm lộn đề đó. Bài này mới đúng nhé:

thuận: (giả sử tam giác ABC cân tại A):

Khi đó \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\). Mà BD, CD là 2 trung tuyến kẻ từ B, C nên \(BD=CD\) \(\Rightarrow\widehat{DBC}=\widehat{DCB}\). Từ đó dễ thấy \(\widehat{DBA}=\widehat{DCA}\), mà BE, CE là các phân giác của \(\widehat{DBA},\widehat{DCA}\) nên \(\widehat{DBE}=\widehat{DCE}\). Từ đây dễ thấy \(\widehat{EBC}=\widehat{ECB}\)  \(\Rightarrow EB=EC\). Do đó, E nằm trên đường trung trực của đoạn BC.

Mà AD chính là trung trực của BC (Do tam giác ABC cân tại A có AD là trung tuyến) \(\Rightarrow E\in AD\Rightarrowđpcm\)

đảo: (giả sử A,D,E thẳng hàng)

Ta thấy AD chính là trung trực của đoạn BC, mà A,D,E thẳng hàng nên E thuộc trung trực của BC \(\Rightarrow EB=EC\Rightarrow\widehat{EBC}=\widehat{ECB}\)

Đồng thời \(\widehat{DBC}=\widehat{DCB}\) , từ đó \(\Rightarrow\widehat{DBE}=\widehat{DCE}\)

Mà BE, CE lần lượt là phân giác của \(\widehat{DBA},\widehat{DCA}\) nên \(\widehat{DBA}=\widehat{DCA}\). Bằng phép cộng góc, ta dễ dàng suy ra \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) \(\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại A.