Vì vòi 1 chảy 4h vòi 2 chảy 6h thì được \(\dfrac{2}{5}\) bể nên vòi 1 chảy \(4:\dfrac{2}{5}=10h\) vòi 2 chảy \(6:\dfrac{2}{5}=15\left(h\right)\) thì đầy bể.

Vòi 1 và vòi 2 chảy có tỉ lệ lần lượt là \(10:15\) hay \(2:3\)

Gọi thời gian mỗi vòi chảy đầy bể lần lượt là \(a,b\left(giờ\right)\)

Theo bài toán, ta có:

\(2a=3b\) hay \(\dfrac{a}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{b}{\dfrac{1}{3}}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\dfrac{a}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{b}{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{a+b}{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}}=\dfrac{12}{\dfrac{5}{6}}=14,4\)

Từ đây suy ra:

\(a=\dfrac{1}{2}\cdot14,4=7,2\)

\(b=\dfrac{1}{3}\cdot14,4=4,8\)

Vậy vòi thứ nhất mất 7,2 giờ để đầy bể, vòi thứ hai mất 4,8 giờ để đầy bể.

Mình bổ sung một cách làm khác nhé.

Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương \(a,b,c\), ta có \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\) \(\Rightarrow1\ge3\sqrt[3]{abc}\)      (1)

Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương \(\dfrac{1}{a},\dfrac{1}{b},\dfrac{1}{c}\) ta có \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}\)           (2)

Nhân theo vế của các BĐT (1) và (2), ta được \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}=9\) (đpcm)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

\(Ta\) có : \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)

\(=\dfrac{a+b+c}{a}+\dfrac{a+b+c}{b}+\dfrac{a+b+c}{c}\)

\(=1+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{b}+1+\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}+1\)

\(=\left(1+1+1\right)+\left(\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\right)+\left(\dfrac{c}{b}+\dfrac{b}{c}\right)+\left(\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c}\right)\)

\(Ta\) có : \(\left(\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\right)\ge2\Leftrightarrow\dfrac{a^2+b^2}{ab}-2\ge0\Leftrightarrow\dfrac{a^2-2ab+b^2}{ab}\ge0\)

\(cmt\) \(tương\) \(tự\) \(với\) : \(\left(\dfrac{c}{b}+\dfrac{b}{c}\right)\) \(và\) \(\left(\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c}\right)\) \(đều\) \(\ge2\) \(như\) \(\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)\ge2\)

\(\Rightarrow\dfrac{a+b+c}{a}+\dfrac{a+b+c}{b}+\dfrac{a+b+c}{c}\ge9\) \(hay\) \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge9\)

\(B=\dfrac{x+2xy+1}{x+xy+xz+1}+\dfrac{y+2yz+1}{y+yz+ỹ+1}+\dfrac{z+2zx+1}{z+zx+zy+1}\)

\(B=\dfrac{yz\left(x+2xy+1\right)}{yz\left(x+xy+xz+1\right)}+\dfrac{xz\left(y+2yz+1\right)}{xz\left(y+yz+ỹ+1\right)}+\dfrac{xy\left(z+2zx+1\right)}{xy\left(z+zx+zy+1\right)}\)

\(B=\dfrac{\left(1+y\right)+y\left(1+z\right)}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\dfrac{\left(1+z\right)+z\left(1+x\right)}{\left(1+z\right)\left(1+x\right)}+\dfrac{\left(1+x\right)+x\left(1+y\right)}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}\)

\(B=\dfrac{y}{1+y}+\dfrac{1}{1+z}+\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{z}{1+z}+\dfrac{1}{1+y}+\dfrac{x}{1+x}\)

\(B=\left(\dfrac{y}{1+y}+\dfrac{1}{1+y}\right)+\left(\dfrac{1}{1+z}+\dfrac{z}{1+z}\right)+\left(\dfrac{x}{1+x}+\dfrac{1}{1+x}\right)\)

\(B=1+1+1\)

\(B=3\)

Ta thấy các hệ số \(a,b,c\) của phương trình đã cho thỏa mãn \(a-b+c=1-\left[-\left(m-3\right)\right]-m+2=1+m-3-m+2=0\)

nên phương trình đã cho sẽ có một nghiệm là \(-1\) và nghiệm kia là \(m-2\).

Trong hệ thức \(x_1^2+x_2=8\), vai trò của \(x_1,x_2\) không như nhau nên ta xét 2 trường hợp:

TH1: Nếu \(x_1=-1\) thì \(x_1^2+x_2=8\Leftrightarrow\left(-1\right)^2+m-2=8\Leftrightarrow m=9\).

TH2: Nếu \(x_2=-1\) thì \(x_1^2+x_2=8\Leftrightarrow\left(m-2\right)^2-1=8\Leftrightarrow\left(m-2\right)^2=9\) \(\Leftrightarrow m-2=\pm3\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=5\\m=-1\end{matrix}\right.\). 

Vậy để phương trình đã cho có 2 nghiệm thỏa điều kiện đề cho thì \(\left[{}\begin{matrix}m=-1\\m=5\\m=9\end{matrix}\right.\)

Lời giải:

$n^3-3n^2-3n-1=n(n^2+n+1)-4n^2-4n-1$

$=n(n^2+n+1)-4(n^2+n+1)+3=(n^2+n+1)(n-4)+3$

Với $n$ nguyên,  để $n^3-3n^2-3n-1$ chia hết cho $n^2+n+1$ thì $3\vdots n^2+n+1$, hay $n^2+n+1$ là ước của $3$

Mà $n^2+n+1=(n+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}>0$ nên:

$n^2+n+1\in\left\{1; 3\right\}$

$\Rightarrow n\in\left\{0; -1; 1; -2\right\}$

Gọi vận tốc của ô tô chưa tăng là \(v\left(km\text{/}h\right)\)

Theo bài toán, ta có:

\(\dfrac{1}{2}\left(10:v\right)=10:\left(v+10\right)\)

\(\Rightarrow\left(10:v\right):2=10:\left(v+10\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(10:v\right):2:2=10:\left(v+10\right):2\)

\(\Leftrightarrow10:v=5:\left(v+10\right)\)

\(\Leftrightarrow10:v:5=5:\left(v+10\right):5\)

\(\Leftrightarrow2:v=v+10\)

\(\Leftrightarrow2:v:2=\left(v+10\right):2\)

\(\Leftrightarrow v=\dfrac{v}{2}+5\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{v}{2}-5=0\)

\(\Leftrightarrow v:2=5\)

\(\Rightarrow v=10\)

Vậy vận tốc của ô tô lúc chưa tăng là 10km/h

Gọi vận tốc ban đầu là : \(x\left(km/h\right)-ĐK:x>0\)

Vận tốc sau khi tăng thêm \(10km/h\) là : \(x+10\left(km/h\right)\)

+) Thời gian đi hết quãng đường AB ban đầu : \(\dfrac{10}{x}\left(h\right)\)

+) Thời gian đi hết quãng đường AB nếu tăng vận tốc thêm \(10km/h\) là : \(\dfrac{10}{x+10}\left(h\right)\)

Theo đề bài, ta có pt :

\(2.\dfrac{10}{x+10}=\dfrac{10}{x}\\ < =>\dfrac{2}{x+10}=\dfrac{1}{x}\\ < =>2x=x+10\\ < =>x=10\)

Vậy vận tốc ban đầu : \(10km/h\)