Ta có: \(x^2\left(x-1\right)-\left(x^2+1\right)\left(x+2\right)\)

\(=x^3-x^2-\left(x^3+2x^2+x+2\right)\)

\(=x^3-x^2-x^3-2x^2-x-2=-3x^2-x-2\)

\(x^2(x-1)-(x^2+1)(x+2)\)

\(=x^3-x^2-(x^3+2x^2+x+2)\)

\(=x^3-x^2-x^3-2x^2-x-2\)

\(=-3x^2-x-2\)

Đặt phương trình bằng \(0\), ta có:

\(-3x^2-x-2=0\rArr3x^2+x+2=0\)

Do đó: \(\Delta=1^2-4\cdot3\cdot2=1-24=-23<0\)

\(\rarr\) Phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình vô nghiệm.

Xét tứ giác ABCD có \(\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}=360^0\)

=>\(x+x+2x+2x=360^0\)

=>\(6x=360^0\)

=>\(x=60^0\)

`D=3x^2-5x+10`

`=3(x^2-5/3x)+10`

`=3[(x^2-5/3x+25/36)-25/36]+10`

`=3[(x^2-2*x*5/6+(5/6)^2)-25/36]+10`

`=3[(x-5/6)^2-25/36]+10`

`=3(x-5/6)^2-25/12+10`

`=3(x-5/6)^2+ 95/12`

Vì `(x-5/6)^2>=0\AAx`

(bình phương luôn không âm)

Suy ra: `3(x-5/6)^2>=0\AAx`

`3(x-5/6)^2+95/12>=0+95/12=95/12\AAx`

Hay: `D>=95/12\AAx->D_(min)=95/12`

Dấu "=" xảy ra: `x-5/6=0`

`x=5/6`

Vậy: `D_(min)=95/12` khi `x=5/6`

\(d=3x^2-5x+10\)

\(\rArr\) Giá trị nhỏ nhất đạt tại \(x=\frac{-(-5)}{2\cdot3}=\frac56\)

Do đó: \(d_{\min}=3\cdot\left(\frac56\right)^2-5\cdot\frac56+10=\frac{95}{12}\)

Vậy \(d_{\min}=\frac{95}{12}\) khi \(x=\frac56\)

-8

1-9=-8

A = \(x^2\) + 2\(x\) + 3

A = \(x^2\) + 2.\(x.1\) + 1 + 2

A = (\(x+1\))\(^2\) + 2

(\(x+1\))\(^2\) ≥ 0 ∀ \(x\) ∈ R

⇒A = \(\left(x+1\right)\)\(^2\) + 2 ≥ 2 > 0 \(\forall x\) ∈ R(đpcm)

Xét \(f(x)=x^2+2x+3\). Ta có:

\(\Delta=2^2-4\cdot1\cdot3\)

\(\Delta=4-12\)

\(\Delta=-8<0\)
Vì \(a=1>0\) và \(\Delta<0\) \(\rArr f(x)>0\) \(\forall\) \(x\in\R\)

Vậy \(x^2+2x+3\) luôn dương với mọi \(x\in\R\) (đpcm)

A = \(x^2\) + 2\(x\) + 3

A = \(x^2\) + 2.\(x.1\) + 1 + 2

A = (\(x+1\))\(^2\) + 2

(\(x+1\))\(^2\) ≥ 0 ∀ \(x\) ∈ R

⇒A = \(\left(x+1\right)\)\(^2\) + 2 ≥ 2 > 0 \(\forall x\) ∈ R(đpcm)

Olm chào em, cảm ơn đánh giá của em về chất lượng bài giảng của Olm, cảm ơn em đã đồng hành cùng Olm trên hành trình tri thức. Chúc em học tập hiệu quả và vui vẻ cùng Olm em nhé!

CM: 2\(x^2\) + 2y\(^2\) ≥ 2\(xy\) - 2\(x\) - 2y - 2

⇔ 2\(x^2\) + 2y\(^2\) - (2\(xy\) - 2\(x\) - 2y - 2) ≥ 0

⇔ 2\(x^2\) + 2y\(^2\) - 2\(xy\) + 2\(x\) + 2y + 2 ≥ 0

⇔ (\(x^2\) - 2\(xy\) + y\(^2\)) + (\(x^2\) + 2\(x\) + 1) + (y\(^2\) + 2y + 1) ≥ 0

⇔ (\(x-y\))\(^2\) + (\(x+1\))\(^2\) + (y + 1)\(^2\) ≥ 0

Vì (\(x-y\))\(^2\) ≥ 0; (\(x+1\))\(^2\); (y + 1)\(^2\) ≥ 0

⇔ (\(x-y\))\(^2\) + (\(x+1\))\(^2\) + (y+ 1)\(^2\) ≥ 0 ∀ \(x;y\)

⇔ 2\(x^2\) + 2y\(^2\) ≥ 2\(xy\) - 2\(x\) - 2y - 2 (đpcm)

\(2x^2+2y^2\ge2xy-2x-2y-2\)

\(\Rightarrow2x^2+2y^2-2xy+2x+2y+2\ge0\)

\(\Rightarrow x^2+y^2-xy+x+y+1\) \(=\left(x-\dfrac{y}{2}\right)^2+\dfrac34y^2+x+y+1\)

Vì:

+) \(\left(x-\dfrac{y}{2}\right)^2\ge0\)

+) \(\dfrac34y^2\ge0\)

+) \(x+y+1\in\R\)

nên tổng \(3\) biểu thức luôn \(\ge0\) với mọi \(x,y\in\R\)

Vậy \(2x^2+2y^2\ge2xy-2x-2y-2\) \(\rarrđpcm\)

Ta có: |x+2|-2x=1

=>|x+2|=2x+1

=>\(\begin{cases}2x+1\ge0\\ \left(2x+1\right)^2=\left(x+2\right)^2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x\ge-\frac12\\ \left(2x+1-x-2\right)\left(2x+1+x+2\right)=0\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x\ge-\frac12\\ \left(x-1\right)\left(3x+3\right)=0\end{cases}\Rightarrow x=1\)

\(\frac{x^3+a\cdot x+b}{x+1}=\frac{x^3+x^2-x^2-x+\left(a+1\right)x+\left(a+1\right)+b-a-1}{x+1}\)

\(=x^2-x+\left(a+1\right)+\frac{b-a-1}{x+1}\)

\(x^3+a\cdot x+b\) chia cho x+1 dư 7

=>b-a-1=7

=>b-a=8

=>a=b-8

\(\frac{x^3+a\cdot x+b}{x-2}=\frac{x^3-2x^2+2x^2-4x+\left(a+4\right)x-2\left(a+4\right)+2a+8+b}{x-2}\)

\(=\frac{x^2\left(x-2\right)+2x\left(x-2\right)+\left(a+4\right)\left(x-2\right)+2a+b+8}{x-2}\)

\(=x^2+2x+a+4+\frac{2a+b+8}{x-2}\)

Theo đề, ta có: 2a+b+8=4

=>2(b-8)+b+8=4

=>2b-16+b+8=4

=>3b-8=4

=>3b=12

=>b=4

a=b-8=4-8=-4