\(\sqrt{a^2-b^2}+\sqrt{2ab-b^2}>a\)

Có: \(\hept{\begin{cases}a^2-b^2>0\\2a-b^2>0\\a;b>0\end{cases}\Leftrightarrow a>b>0.}\)

 \(\sqrt{a^2-b^2}+\sqrt{2ab-b^2}>a\)(1)

<=> \(\sqrt{2ab-b^2}>a-\sqrt{a^2-b^2}\)

<=> \(2ab-b^2>a^2-2a\sqrt{a^2-b^2}+a^2-b^2\)

<=> \(b>a-\sqrt{a^2-b^2}\)

<=> \(a-b-\sqrt{a^2-b^2}< 0\)

<=> \(\sqrt{a-b}\left(\sqrt{a-b}-\sqrt{a+b}\right)< 0\)đúng vì \(\sqrt{a-b}-\sqrt{a+b}< 0\)

=>  (1) đúng.

Chia hai vế cho a, bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành:

\(\sqrt{1-\left(\frac{b}{a}\right)^2}+\sqrt{2\left(\frac{b}{a}\right)-\left(\frac{b}{a}\right)^2}>1\)

Đặt \(\frac{b}{a}=x\Rightarrow0< x< 1\). Ta cần chứng minh:

\(\sqrt{1-x^2}+\sqrt{2x-x^2}>1\)

\(\Leftrightarrow2x-2x^2+2\sqrt{\left(1-x^2\right)\left(2x-x^2\right)}>0\) (bình phương 2 vế)

\(\Leftrightarrow2x\left(1-x\right)+2\sqrt{x\left(1-x\right)\left(1+x\right)\left(2-x\right)}>0\) (đúng)

Ta có đpcm.

ĐK: \(\hept{\begin{cases}x^2-4\ge0\\x-\sqrt{x^2-4}\ge0\end{cases}}\)

Đặt : \(\sqrt{x-\sqrt{x^2-4}}=t>0\)

=> \(x-\sqrt{x^2-4}=t^2\)

=> \(\frac{4}{x+\sqrt{x^2-4}}=t^2\)

=> \(x+\sqrt{x^2-4}=\frac{4}{t^2}\)

Phương trình ban đầu trở thành:

\(\frac{4}{t^2}-t=3\)

<=> \(t^3+3t^2-4=0\)

<=> \(\left(t-1\right)\left(t+2\right)^2=0\)

Tự làm tiếp nhé! 

Ta có:

\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\ge3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2-2+4-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-1\right)\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+1\right)-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-1\right)\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+2\right)\ge0\left(1\right)\)

Đến đây có 2 cách giải quyết

Cách 1:

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\frac{x^2-xy+y^2}{xy}\cdot\frac{\left(x+y\right)^2}{xy}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y\right)^2\left(x^2-xy+y^2\right)}{x^2y^2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y\right)^2\left[\left(x-\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}\right]}{x^2y^2}\ge0\left(true!!!\right)\)

Cách 2 là đặt ẩn:)

Đặt \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=t\Rightarrow t^2=\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2\ge4\cdot\frac{x}{y}\cdot\frac{y}{x}=4\)

\(\Rightarrow\left|t\right|\ge2\)

Khi đó ta có:

\(\left(t+1\right)\left(t-2\right)\ge0\)

Nếu \(t\ge2\Rightarrow t+1>0;t-2\ge0\Rightarrow\left(t+1\right)\left(t-2\right)\ge0\)

Nếu \(t\le-2\Rightarrow t+1< 0;t-2< 0\Rightarrow\left(t+1\right)\left(t-2\right)>0\)

=> đpcm

ĐK:3x+2>=0

  <=>3x>=-2

 <=> x>=-2/3

Trả lời: