Lời giải:
Gọi $AE$ là đường trung tuyến của tam giác $ABC$ thì $E$ là trung điểm của $BC$

\(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{EG}\\ =\overrightarrow{BC}+2(\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{CG})\\ =\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{EC}+2\overrightarrow{CG}\\ =\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{GC}\\ =2\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{GC}\)

A ∪ B = (-∞; +∞)

1) \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DM}\)

             \(=\overrightarrow{AD}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{DC}\)

             \(=\overrightarrow{AD}+\dfrac{2}{3}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}\right)\)

             \(=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AD}\) (đpcm)

2) \(AC=BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}\)

\(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}=\dfrac{AC^2+AD^2-CD^2}{2}\)

               \(=\dfrac{20+4-16}{2}=4\)

3) Gọi O là tâm hình chữ nhật

\(\Rightarrow2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}\)

Ta có:

\(2PA^2+PB^2+2PC^2+PD^2\)

\(=2\left(\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OA}\right)^2+\left(\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OB}\right)^2+2\left(\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OC}\right)^2+\left(\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OD}\right)^2\)

\(=6PO^2+2OA^2+OB^2+2OC^2+OD^2+2\overrightarrow{PO}\left(2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\right)\)

\(=\)\(6PO^2+2OA^2+OB^2+2OC^2+OD^2\)

\(=6PO^2+6OA^2\left[OB=OD=OA=OC\right]\)

\(=6PO^2+6\left(\sqrt{5}\right)^2\)

\(=6PO^2+30\ge30\) 

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow O\equiv P\) 

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2PA^2+PB^2+2PC^2+PD^2}\le\dfrac{1}{30}\)

\(Max\dfrac{1}{2PA^2+PB^2+2PC^2+PD^2}=\dfrac{1}{30}\Leftrightarrow P\equiv O\)

1) \(\sqrt{2x-1}=\sqrt{x^2+4x-4}\left(Đk:x\ge\dfrac{1}{2}\right)\)

\(\Leftrightarrow2x-1=x^2+4x-4\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x-3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\left(TM\right)\\x=-3\left(L\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy \(S=\left\{1\right\}\)

2) \(\sqrt{x^2-4x+3}=x-3\left(Đk:x\ge3\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2=x^2-4x+3\)

\(\Leftrightarrow x^2-6x+9=x^2-4x+3\)

\(\Leftrightarrow2x=6\)

\(\Leftrightarrow x=3\)

Vậy \(S=\left\{3\right\}\)

Để phương trình: \(x^2-2\left(m-1\right)x+4m+8=0\) có nghiệm

\(\Rightarrow\Delta\ge0\)

\(\Leftrightarrow4\left(m-1\right)^2-4\left(4m+8\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow4m^2-8m+4-16m-32\ge0\)

\(\Leftrightarrow4m^2-24m-28\ge0\)

\(\Leftrightarrow m^2-6m-7\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)\left(m-7\right)\ge0\)

\(\Rightarrow m\in(-\infty;-1]\cup[7;+\infty)\)

Gọi F, S lần lượt là tập hợp các bạn thích chơi đá bóng, bơi lội.

Dùng công thức \(\left|F\cup S\right|+\left|F\cap S\right|=\left|F\right|+\left|S\right|\) 

\(\Rightarrow\left|F\cap S\right|=\left|F\right|+\left|S\right|-\left|F\cup S\right|\) \(=18+15-28=5\)

Vậy có 5 bạn thích cả đá bóng và bơi lội.

Bạn cần hỏi đáp điều gì không nhỉ?

Bạn cần làm gì?

chỉ nhờ vào tương lai

Tùy em nhá, có thể là em sẽ chỉ đc loại khá thôi em ạ, giỏi thì phải tất cả trên 9 cơ em ạ.