ΔCAB cân tại C

mà CP là đường trung tuyến

nên CP\(\perp\)AB tại P

=>ΔPBC vuông tại P

Xét ΔCAB cân tại B có BN là đường trung tuyến

nên BN\(\perp\)AC tại N

=>ΔBNC vuông tại N

Xét tứ giác BPNC có \(\widehat{BPC}=\widehat{BNC}=90^0\)

nên BPNC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC

=>B,P,N,C cùng thuộc đường tròn đường kính BC

=>\(R=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{a}{2}\)

\(\text{Δ}=\left[2\left(m+3\right)\right]^2-4\cdot1\cdot\left(4m+2\right)\)

\(=4m^2+24m+36-16m-8\)

\(=4m^2+8m+28=4m^2+8m+4+24=\left(2m+2\right)^2+24>=24>0\forall m\)

=>Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2m+6\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=4m+2\end{matrix}\right.\)

\(\sqrt{x_1-1}+\sqrt{x_2-1}=3\)

=>\(x_1-1+x_2-1+2\sqrt{\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)}=9\)

=>\(2m+6-2+2\sqrt{x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1}=9\)

=>\(2m+4+2\sqrt{4m+2-2m-6+1}=9\)

=>\(2\sqrt{2m-3}=9-2m-4=-2m+5\)

=>\(\sqrt{8m-12}=-2m+5\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}-2m+5>=0\\\left(-2m+5\right)^2=8m-12\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< =\dfrac{5}{2}\\4m^2-20m+25-8m+12=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m< =\dfrac{5}{2}\\4m^2-28m+37=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=\dfrac{7-2\sqrt{3}}{2}\)

Xét ΔAHB vuông tại H có \(sinB=\dfrac{AH}{AB}\)

=>\(\dfrac{AH}{6}=sin40\)

=>\(AH=6\cdot sin40\simeq3,86\left(cm\right)\)

ΔAHB vuông tại H

=>\(HA^2+HB^2=AB^2\)

=>\(HB=\sqrt{AB^2-AH^2}\simeq4,59\left(cm\right)\)

Ta có: ΔAHB vuông tại H

=>\(\widehat{HAB}+\widehat{HBA}=90^0\)

=>\(\widehat{HAB}=90^0-40^0=50^0\)

Ta có: \(\widehat{HAB}+\widehat{HAC}=\widehat{BAC}\)

=>\(\widehat{HAC}=60^9-50^0=10^0\)

Xét ΔAHC vuông tại H có \(tanHAC=\dfrac{HC}{AH}\)

=>\(\dfrac{HC}{3,86}=tan10\)

=>\(HC\simeq0,68\left(cm\right)\)

ΔHAC vuông tại H

=>\(HA^2+HC^2=AC^2\)

=>\(AC\simeq\sqrt{0,68^2+3,86^2}\simeq3,92\left(cm\right)\)

cho em coin

\(g.x^3-3x^2+3x-1=0\\ \Leftrightarrow\left(x-1\right)^3=0\\ \Leftrightarrow x-1=0\\ \Leftrightarrow x=1\\ h.x\left(2x-7\right)-4x+14=0\\ \Leftrightarrow x\left(2x-7\right)-2\left(2x-7\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(2x-7\right)\left(x-2\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x=7\\x=2\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{7}{2}\\x=2\end{matrix}\right.\\ k.\left(2x-5\right)^2\left(x+2\right)^2=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x-5=0\\x+2=0\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x=5\\x=-2\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{5}{2}\\x=-2\end{matrix}\right.\\ l.x\left(2x-9\right)=3x\left(x-5\right)\\ \Leftrightarrow3x^2-15x-2x^2+9x=0\\ \Leftrightarrow x^2-6x=0\\ \Leftrightarrow x\left(x-6\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=6\end{matrix}\right.\\ m.\left(x^2-2x+1\right)-4=0\\ \Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=2^2\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=2\\x-1=-2\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2+1=3\\x=-2+1=-1\end{matrix}\right.\)

a: (3x-2)(4x+5)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}3x-2=0\\4x+5=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{2}{3}\\x=-\dfrac{5}{4}\end{matrix}\right.\)

c: \(\left(4x+2\right)\left(x^2+1\right)=0\)

mà \(x^2+1>=1>0\forall x\)

nên 4x+2=0

=>4x=-2

=>\(x=-\dfrac{1}{2}\)

d: (2x+7)(x-5)(5x+1)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}2x+7=0\\x-5=0\\5x+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\dfrac{7}{2}\\x=5\\x=-\dfrac{1}{5}\end{matrix}\right.\)

f: \(\left(x^2-4\right)\left(x-2\right)\left(3-2x\right)=0\)

=>\(\left(x-2\right)^2\cdot\left(x+2\right)\left(3-2x\right)=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x-2=0\\x+2=0\\3-2x=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=-2\\x=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\left(4x+2\right)\left(x^2+1\right)=0\)(1) 

Ta có: `x^2>=0` với mọi x

`=>x^2+1>=1>0` với mọi x

`=>x^2+1≠0`

\(\left(1\right)\Leftrightarrow4x+2=0\\ \Leftrightarrow4x=-2\\ \Leftrightarrow x=-\dfrac{2}{4}=-\dfrac{1}{2}\)

`(4x + 2)(x^2 + 1) = 0`

Trường hợp 1: 

`4x + 2 = 0`

`<=> 4x = -2`

`<=> x =` \(-\dfrac{1}{2}\)

Trường hợp 2: 

`x^2 + 1 = 0`

`<=> x^2 = -1` (Không tồn tại `x`)

Vậy `x =` \(-\dfrac{1}{2}\)

`x (2x - 9) = 3x(x - 5) `

`<=> 2x^2 - 9x = 3x^2 - 15x`

`<=> 3x^2 - 2x^2 - 15x + 9x =0`

`<=> x^2 - 6x = 0`

`<=> x(x-6) = 0`

`<=> x = 0` hoặc `x - 6 = 0`

`<=> x = 0` hoặc `x = 6`

Vậy ....

a: Ta có: ΔABC vuông tại A

=>\(BC^2=AB^2+AC^2\)

=>\(BC=\sqrt{4^2+3^2}=5\left(cm\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có

\(sinB=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{3}{5};cosB=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{4}{5}\)

b: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AH\cdot BC=AB\cdot AC\\BH\cdot BC=BA^2\\CH\cdot CB=CA^2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}AH\cdot5=3\cdot4=12\\BH\cdot5=4^2=16\\CH\cdot5=3^2=9\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AH=2,4\left(cm\right)\\BH=3,2\left(cm\right)\\CH=1,8\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Xét ΔAHB vuông tại H có HK là đường cao

nên \(AK\cdot AB=AH^2\)

=>\(AK\cdot4=2,4^2\)

=>\(AK=1,44\left(cm\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HI là đường cao

nên \(AI\cdot AC=AH^2\)

=>\(AI=\dfrac{2.4^2}{3}=1,92\left(cm\right)\)

c: xét tứ giác AIHK có \(\widehat{AIH}=\widehat{AKH}=\widehat{KAI}=90^0\)

=>AIHK là hình chữ nhật

=>\(S_{AIHK}=AI\cdot AK=1,92\cdot1,44=2,7648\left(cm^2\right)\)