1=

 $f\left(x\right)$ đồng biến trên $K$ $\iff \genfrac{}{}{0ex}{}{f\left(x^2\right)-f\left(x^1\right)}{x^2-x^1}>0,\forall x^1,x^2\in K$ ($x^1\ne x^2$);

    $f\left(x\right)$ nghịch biến trên $K$   ​$\iff \genfrac{}{}{0ex}{}{f\left(x^2\right)-f\left(x^1\right)}{x^2-x^1}<0,\forall x^1,x^2\in K$​ ($x^1\ne x^2$).

b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải (hình a);

    Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải (hình b).

Cho hàm số $y=-\genfrac{}{}{0ex}{}{x^2}{2}$ với đồ thị như sau. Hàm số có đạo hàm $y^{\prime }=-x$. 

Trên khoảng $\left(-\infty ;0\right)$ đạo hàm mang dấu dươngâm , hàm số nghịch biếnđồng biến.

Trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$ đạo hàm mang dấu dươngâm, hàm số nghịch biếnđồng biến.

Định lý: Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên K.

a) Nếu $f^{\prime }\left(x\right)>0$ với mọi $x$ thuộc K thì hàm số $f\left(x\right)$ đồng biến trên K.

b) Nếu $f^{\prime }\left(x\right)<0$ với mọi $x$ thuộc K thì hàm số nghịch biến trên K.

Xét hàm số $y=\sin x$ trên khoảng $\left(0;2\pi \right)$ có đạo hàm và bảng biến thiên như sau:

Hàm số $y=\sin x$ đồng biến trên những khoảng nào dưới đây?

Định lý mở rộng: Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên K. Nếu $f^{\prime }\left(x\right)\ge 0$ (hoặc $f^{\prime }\left(x\right)\le 0$), $\forall x\in K$ và $f^{\prime }\left(x\right)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K.

Ví dụ: hàm số $y=2x^3+6x^2+6x-7$ có đạo hàm $y^{\prime }=6x^2+12x+6=6{\left(x+1\right)}^2\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$. Vậy hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Qui tắc:

1. Tìm tập xác định

2. Tính đạo $f^{\prime }\left(x\right)$. Tìm các điểm $x^1,x^2,...,x^n$ mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

3. Sắp xếp các điểm $x^1,x^2,...,x^n$ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

4. Rút ra kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số $y=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{3}{x}^3-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}{x}^2-2x+2$.

1) Tập xác định: $\mathbb{R}$.

2) $y^{\prime }=x^2-x-2$, $y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{r}x=-1\\ x=2\end{array}$

3) Bảng biến thiên

4) Rút ra kết luận:

 Hàm số nghịch biếnđồng biến trên các khoảng $\left(-\infty ;-1\right)$ và $\left(2;+\infty \right)$.

 Hàm số đồng biếnnghịch biến trên khoản $\left(-1;2\right)$.