Gọi chiều dài của hình chữ nhật là x \(\left(m;x>0\right)\)

       chiều rộng của hình chữ nhật là y \(\left(m;y>0\right)\)

Diện tích của hình chữ nhật là: \(x.y=1200\left(m^2\right)\left(1\right)\)

Nếu tăng chiều dài 5m, giảm chiều rộng 10m thì diện tích giảm 300m2. 

\(\left(x+5\right).\left(y-10\right)=xy-300\)

\(\Leftrightarrow xy-10x+5y-50=xy-300\)

\(\Leftrightarrow10x-5y=250\)

\(\Leftrightarrow2x-y=50\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\hept{\begin{cases}xy=1200\\2x-y=50\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}y=\frac{1200}{x}\\2x-\frac{1200}{x}=50\end{cases}}\)

                                                                                         \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=\frac{1200}{x}\\2x^2-1200=50x\end{cases}}\)

                                                                                          \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=\frac{1200}{x}\\2x^2-50x-1200=0\end{cases}}\)

                                                                                          \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=\frac{1200}{x}\\\left(x-40\right).\left(2x+30\right)=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=\frac{1200}{x}\\x=40\left(TM\right),x=-15\left(L\right)\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=30\left(TM\right)\\x=40\end{cases}}}\)

Vậy chiều dài của hình chữ nhật là 40m

        chiều rộng của hình chữ nhật là 30m

a,Để pt có hai nghiệm trái dấu thì :

(m + 1)².(m² - 1) < 0

Mà (m + 1)² > 0 nên m² - 1 < 0

   => m < 1.

Vậy ...

hello

+) Áp dingj BĐT Bu-nhia có

\(\left(x+y\right)^2=\left(x.1+y.1\right)^2\le\left(x^2+y^2\right).\left(1^2+1^2\right)\)

\(\Rightarrow1\le2\left(x^2+y^2\right)\Rightarrow x^2+y^2\ge\frac{1}{2}\)

Min P=\(\frac{1}{2}\) khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

+)\(P=x^2+y^2=\left(x+y\right)^2-2xy\le\left(x+y\right)^2=1\) (vì \(x;y\ge0\) và \(x+y=1\))

\(\Rightarrow Max\)P=1 khi \(x.y=0\Leftrightarrow\)x=0 hoặc y=0

Vậy Max P =1 khi x=0,y=1 hoặc x=1,y=0

Có \(\sqrt{\left(3a+b\right)\left(a+3b\right)}\le\frac{3a+b+a+3b}{2}=2\left(a+b\right)\)

Mà 4ab=\(\left(2\sqrt{ab}\right)^2=\left[\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2-\left(a+b\right)\right]^2=\left[1-\left(a+b\right)\right]^2\)

Do đó nếu đặt a+b=t. Khi đó a+b \(\ge\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\)

hay \(t\ge\frac{1}{2}\)

Cần chứng minh: \(3\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)+4ab\ge\frac{1}{2}\sqrt{\left(3a+b\right)\left(a+3b\right)}\)

\(\Leftrightarrow3t^2-t+\left(1-t\right)^2\ge\frac{1}{2}\cdot2t\)

\(\Leftrightarrow4t^2-4t+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(2t-1\right)^2\ge0\)luôn đúng với mọi t \(\ge\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}2t-1=0\\3a+b=3b+a\\\sqrt{a}+\sqrt{b}=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b=\frac{1}{2}\\a=b\\\sqrt{a}+\sqrt{b}=1\end{cases}\Leftrightarrow}a=b=\frac{1}{4}}\)

Ta có:

\(2009^2=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)

\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4=2009^2-2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\left(sao\right)\)

\(0=\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2-2\left(ab+bc+ca\right)=2009-2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca=\frac{2009}{2}\)

\(\Rightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)=\frac{2009^2}{4}\)

\(\Rightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=\frac{2009^2}{4}\)

Thay vào ( sao ) ta có ngay \(A=a^4+b^4+c^4=2009^2-\frac{2009^2}{2}=\frac{2009^2}{2}\)

1) ĐK : \(\hept{\begin{cases}x+1\ge0\\4-x\ge0\\\left(x+1\right)\left(x-4\right)\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge-1\\x\le4\\x\ge4hoacx\le-1\end{cases}}\)

<=> x = -1 hoặc x = 4 

+) Với x= - 1 ta có: \(\sqrt{5}=5\)loại 

+) Với x = 4 ta có: \(\sqrt{5}=5\)loai 

Áp dụng BĐT AM-GM ta có a+b+c\(\ge2\sqrt{a\left(b+c\right)}\Leftrightarrow\sqrt{\frac{a}{b+c}}\ge\frac{2a}{a+b+c}\)

Chứng minh tương tự ta có:\(\hept{\begin{cases}\sqrt{\frac{b}{c+a}}\ge\frac{2b}{a+b+c}\\\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2c}{a+b+c}\end{cases}}\)

=> \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)

Dấu "=" xảy ra <=>\(\hept{\begin{cases}a=b+c\\b=c+a\\c=a+b\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c=0}\)(trái với giả thiết)

Vậy dấu "=" không xảy ra => đpcm

Áp dụng BĐT Cô-si,ta có :

\(\sqrt{\frac{b+c}{a}.1}\le\frac{\frac{b+c}{a}+1}{2}=\frac{b+c+a}{2a}\)

\(\Rightarrow\sqrt{\frac{a}{b+c}}\ge\frac{2a}{a+b+c}\)

Tương tự : \(\sqrt{\frac{b}{c+a}}\ge\frac{2b}{a+b+c};\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2c}{a+b+c}\)

Cộng từng vế theo vế, ta được :

\(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b+c\\b=a+c\\c=a+b\end{cases}\Rightarrow a+b+c=0}\)( trái với giả thiết vì a,b,c > 0 )

Nên dấu "=" không xảy ra

Vậy ...

\(x+y=3\sqrt{xy}\)

<=> \(\frac{x}{y}-3\sqrt{\frac{x}{y}}+1=0\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}\sqrt{\frac{x}{y}}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\\\sqrt{\frac{x}{y}}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}\frac{x}{y}=\frac{7+3\sqrt{5}}{2}\\\frac{x}{y}=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\)

Ta có \(x+y=3\sqrt{xy}\Leftrightarrow\frac{x}{y}+1=3\sqrt{\frac{x}{y}}\left(1\right)\)

Đặt \(u=\frac{x}{y}\)ta có u>0 và (1) <=> \(u^2-3u+1=0\)

<=> \(u=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}\Leftrightarrow\frac{x}{y}=\left(\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}\right)^2\)

Ta có :

\(A=\sqrt{\left(x-y\right)^2}+\sqrt{\left(y-z\right)^2}+\sqrt{\left(z-x\right)^2}\)

\(=\left|x-y\right|+\left|y-z\right|+\left|z-x\right|\)

không mất tính tổng quát, giả sử \(0\le z\le y\le x\le3\)

Khi đó : A = x - y + y - z + x - z = 2x - 2z

vì \(0\le z\le x\le3\)nên : \(2x\le6;-2z\le0\Rightarrow2x-2z\le6\)

\(\Rightarrow A\le6\)

Vậy GTNN của A là 6 khi x = 3 ; z = 0 và y thỏa mãn \(0\le y\le3\)và các  hoán vị