a: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAHC vuông tại H có

AB=AC

AH chung

Do đó: ΔAHB=ΔAHC

b: Xét ΔDMH vuông tại M và ΔDMC vuông tại M có

DM chung

MH=MC

Do đó: ΔDMH=ΔDMC

=>\(\widehat{DHC}=\widehat{DCH}\)

=>\(\widehat{DHC}=\widehat{ABC}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí đồng vị

nên HD//AB

c: ΔAHB=ΔAHC

=>HB=HC

=>H là trung điểm của BC

Xét ΔABC có

AH,BD là các đường trung tuyến

AH cắt BD tại G

Do đó: G là trọng tâm của ΔABC

Đề bài của em đâu?

a: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAHC vuông tại H có

AB=AC

AH chung

Do đó: ΔAHB=ΔAHC

b: ΔAHB=ΔAHC

=>HB=HC

=>H là trung điểm của BC

=>\(HB=HC=\dfrac{BC}{2}=4\left(cm\right)\)

ΔAHB vuông tại H

=>\(AH^2+HB^2=AB^2\)

=>\(AH=\sqrt{5^2-4^2}=3\left(cm\right)\)

c: ΔAHB=ΔAHC

=>\(\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\)

Xét ΔADH vuông tại D và ΔAEH vuông tại E có

AH chung

\(\widehat{DAH}=\widehat{EAH}\)

Do đó: ΔADH=ΔAEH

=>DH=EH

=>ΔHDE cân tại H

d: Ta có: HD=HE

mà HE<HC(ΔHEC vuông tại E)

nên HD<HC

a: Sửa đề: BE=CF

Xét ΔABE vuông tại E và ΔACF vuông tại F có

AB=AC

\(\widehat{BAE}\) chung

Do đó: ΔABE=ΔACF

=>BE=CF

b: ΔABE=ΔACF

=>AE=AF

Xét ΔAFH vuông tại F và ΔAEH vuông tại E có

AH chung

AF=AE

Do đó: ΔAFH=ΔAEH

=>HF=HE

=>ΔHEF cân tại H

c: Xét ΔABC có \(\dfrac{AF}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\)

nên FE//BC

d: Ta có: AE=AF

=>A nằm trên đường trung trực của EF(1)

ta có: HE=HF

=>H nằm trên đường trung trực của EF(2)

Từ (1),(2) suy ra AH là đường trung trực của EF

=>AH\(\perp\)EF

Giải:

Số nhỏ nhất chia cho 2 dư 1, chia 3 dư 1 là 1

Các số cho 2 và 3 đều dư 1 là các số thuộc dãy số sau:

1; 7; 13; 19; 25; 31;...;

Các số từ 1 đến 20 chia cho 2 và 3 đều dư 1 là:

1; 7; 13; 19

Kết luận: từ 1 đến 20 các số chia cho 2 và 3 đều dư 1 lần lượt là các số sau1; 7; 13; 19

Cách hai:

Gọi số thỏa mãn đề bài là \(x\); \(x\) \(\in\) N; 1 ≤ \(x\) ≤ 20

Theo bài ra ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x-1⋮2\\x-1⋮3\end{matrix}\right.\)

⇒ \(x-1\in\) BC(2; 3)

2 = 2; 3 = 3; BCNN(2;3) = 2.3 = 6

\(x-1\) \(\in\) B(6) = {0; 6; 12; 18; 24; 30;..;}

\(x\in\) {1; 7; 13; 19; 25; 31;...}

Vì 1 ≤ \(x\) ≤ 20 nên \(x\) \(\in\) {1; 7; 13; 19}

Kết luận các số tự nhiên từ 1 đến 20 chia 2 và 3 đều dư 1 là các số sau: 1; 7; 13; 19

1: Xét ΔMEA vuông tại E và ΔMFC vuông tại F có

MA=MC

\(\widehat{EMA}=\widehat{FMC}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔMEA=ΔMFC

=>ME=MF

2: BE+BF

=BE+BE+EF

=2BE+2ME

=2(BE+ME)

=2BM

Gọi số học sinh của ba khối 6;7;8 lần lượt là a(bạn),b(bạn),c(bạn)

(ĐK: \(a,b,c\in Z^+\))

Số học sinh của khối 6;7;8 lần lượt tỉ lệ với 8;7;6

nên ta có: \(\dfrac{a}{8}=\dfrac{b}{7}=\dfrac{c}{6}\)

Số học sinh khối 8 nhiều hơn số học sinh khối 7 là 15 bạn là sai rồi vì \(\dfrac{b}{7}=\dfrac{c}{6}\) thì có nghĩa là số học sinh khối 7 nhiều hơn chứ bạn

a: Xét ΔOMA vuông tại M và ΔOMB vuông tại M có

OM chung

OA=OB

Do đó: ΔOMA=ΔOMB

=>\(\widehat{AOM}=\widehat{BOM}\)

=>OM là phân giác của góc AOB

b: ΔOMA=ΔOMB

=>MA=MB

Xét ΔMEA vuông tại E và ΔMFB vuông tại F có

MA=MB

\(\widehat{MAE}=\widehat{MBF}\)

Do đó: ΔMEA=ΔMFB

=>EA=FB

c: Xét ΔEFH có

FM là đường trung tuyến

\(FM=\dfrac{EH}{2}\)

Do đó: ΔEFH vuông tại F

=>EF\(\perp\)FH

Xét ΔMEA và ΔMHB có

ME=MH

\(\widehat{EMA}=\widehat{HMB}\)(đối đỉnh)

MA=MB

Do đó: ΔMEA=ΔMHB

=>\(\widehat{MEA}=\widehat{MHB}=90^0\)

=>AE//BH

=>BH//OA

d: Ta có: OE+EA=OA

OF+FB=OB

mà EA=FB và OA=OB

nên OE=OF

Xét ΔOAB có \(\dfrac{OE}{OA}=\dfrac{OF}{OB}\)

nên EF//AB

=>FH\(\perp\)AB tại I

ΔMFH cân tại M

mà MI là đường cao

nên I là trung điểm của FH

Xét ΔEFH có

EI,FM là các đường trung tuyến

EI cắt FM tại G

Do đó: G là trọng tâm của ΔEFH

Ta có: ΔOEF cân tại O

mà OK là đường phân giác

nên K là trung điểm của EF

Xét ΔEFH có

G là trọng tâm

K là trung điểm của EF

Do đó: H,G,K thẳng hàng

a: Xét ΔOMA vuông tại M và ΔOMB vuông tại M có

OM chung

OA=OB

Do đó: ΔOMA=ΔOMB

=>\(\widehat{AOM}=\widehat{BOM}\)

=>OM là phân giác của góc AOB

b: ΔOMA=ΔOMB

=>MA=MB

Xét ΔMEA vuông tại E và ΔMFB vuông tại F có

MA=MB

\(\widehat{MAE}=\widehat{MBF}\)

Do đó: ΔMEA=ΔMFB

=>EA=FB

c: Xét ΔEFH có

FM là đường trung tuyến

\(FM=\dfrac{EH}{2}\)

Do đó: ΔEFH vuông tại F

=>EF\(\perp\)FH

Xét ΔMEA và ΔMHB có

ME=MH

\(\widehat{EMA}=\widehat{HMB}\)(đối đỉnh)

MA=MB

Do đó: ΔMEA=ΔMHB

=>\(\widehat{MEA}=\widehat{MHB}=90^0\)

=>AE//BH

=>BH//OA

d: Ta có: OE+EA=OA

OF+FB=OB

mà EA=FB và OA=OB

nên OE=OF

Xét ΔOAB có \(\dfrac{OE}{OA}=\dfrac{OF}{OB}\)

nên EF//AB

=>FH\(\perp\)AB tại I

ΔMFH cân tại M

mà MI là đường cao

nên I là trung điểm của FH

Xét ΔEFH có

EI,FM là các đường trung tuyến

EI cắt FM tại G

Do đó: G là trọng tâm của ΔEFH

Ta có: ΔOEF cân tại O

mà OK là đường phân giác

nên K là trung điểm của EF

Xét ΔEFH có

G là trọng tâm

K là trung điểm của EF

Do đó: H,G,K thẳng hàng

Tham khảo:

Để chứng minh \( QM + QD < AM + AD \), chúng ta có thể sử dụng bất đẳng thức tam giác. Trong trường hợp này, \( QM \) và \( QD \) là độ dài các đoạn thẳng, nên chúng ta có thể áp dụng bất đẳng thức tam giác để chứng minh điều cần chứng minh.

Bất đẳng thức tam giác cho biết rằng trong một tam giác bất kỳ, tổng độ dài của hai cạnh bất kỳ phải lớn hơn độ dài cạnh còn lại. Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác \( AMD \), ta có:

\[
AM + AD > MD
\]

Tương tự, áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác \( QMD \), ta có:

\[
QM + QD > MD
\]

Kết hợp hai bất đẳng thức trên, ta có:

\[
(QM + QD) + (AM + AD) > 2 \times MD
\]

Nhưng vì \( Q \) nằm trong tam giác \( AMD \), nên \( MD \) không lớn hơn \( MA \) (vì \( Q \) nằm trong tam giác \( AMD \), nên \( MD \) không vượt quá \( MA \)). Vì vậy:

\[
2 \times MD < MA + AD
\]

Tổng hợp lại, ta có:

\[
(QM + QD) + (AM + AD) > MA + AD
\]

Tức là:

\[
QM + QD > AM + AD
\]

Vậy, đã chứng minh được \( QM + QD < AM + AD \).

Lời giải:

$A(x)=B(x)Q(x)-x+1$

$\Rightarrow x^3-2x^2+x=B(x)(x-1)-x+1$

$\Rightarrow (x^3-x^2)-(x^2-x)=B(x)(x-1)-(x-1)$

$\Rightarrow x^2(x-1)-x(x-1)=(x-1)[B(x)-1]$

$\Rightarrow (x-1)(x^2-x)=(x-1)[B(x)-1]$

$\Rightarrow x^2-x=B(x)-1$

$\Rightarrow B(x)=x^2-x+1$