Lời giải:

Lấy 2 PT trừ theo vế thì:

$x^3-y^3=x-y$

$\Leftrightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2)-(x-y)=0$

$\Leftrightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2-1)=0$

$\Rightarrow x-y=0$ hoặc $x^2+xy+y^2=1$
TH1: $x-y=0\Leftrightarrow x=y$

Thay vào PT(1):

$x^3=3x\Leftrightarrow x(x^2-3)=0\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=\pm \sqrt{3}$

Vậy $(x,y)=(0,0), (\sqrt{3}, \sqrt{3}), (-\sqrt{3}, -\sqrt{3})$

TH2: $x^2+xy+y^2=1(*)$

Cộng 2 PT theo vế: $x^3+y^3=3(x+y)$

$\Leftrightarrow (x+y)(x^2-xy+y^2-3)=0$

Nếu $x+y=0$ thì $x=-y$. Thay vào $(*)$:

$x^2+x(-x)+y^2=1$

$\Leftrightarrow y^2=1\Leftrightarrow y=\pm 1$

Vậy $(x,y)=(1,-1), (-1,1)$

Nếu $x^2-xy+y^2-3=0$

$\Leftrightarrow (x^2+xy+y^2)-2xy-3=0$

$\Leftrightarrow 1-2xy-3=0$

$\Leftrightarrow xy=-1$

$x^2+y^2=1-xy=1-(-1)=2$

$\Leftrightarrow (x+y)^2-2xy=2$

$\Leftrightarrow (x+y)^2-2(-1)=2$

$\Leftrightarrow x+y=0$

$\Leftrightarrow x=-y$. Thay vào $xy=-1$ thì: $y^2=1\Leftrightarrow y=\pm 1$

Nếu $y=1$ thì $x=-y=-1$. Nếu $y=-1$ thì $x=-y=1$

Vậy $(x,y)=(-1,1), (1,-1)$.

Vậy............

a/

\(\Rightarrow3=4m.2-m-5\Leftrightarrow m=\dfrac{8}{5}\)

b/

Tọa độ A là \(A\left(x_0;y_0\right)\)

\(\Rightarrow y_0=4mx_0-m-5\forall m\)

\(\Leftrightarrow\left(4x_0-1\right)m-\left(y_0+5\right)=0\forall m\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x_0-1=0\\y_0+5=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=\dfrac{1}{4}\\y_0=-5\end{matrix}\right.\)

=> d1 luân đi qua điểm A cố định \(A\left(\dfrac{1}{4};-5\right)\forall m\)

Tọa độ B là \(B\left(x_1;y_1\right)\)

\(\Rightarrow y_1=\left(3m^2+1\right)x_1+m^2-4\forall m\)

\(\Leftrightarrow3m^2x_1+x_1+m^2-4-y_1=0\forall m\)

\(\Leftrightarrow\left(3x_1+1\right)m^2+x_1-y_1-4=0\forall m\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x_1+1=0\\x_1-y_1-4=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=-\dfrac{1}{3}\\y_1=-\dfrac{13}{3}\end{matrix}\right.\)

=> d2 luân đi qua điểm B cố định \(B\left(-\dfrac{1}{3};-\dfrac{13}{3}\right)\)

d/ d1//d2 khi

\(\left\{{}\begin{matrix}4m=3m^2+1\\-m-5\ne m^2-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m_1=1\\m_2=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\\m^2+m+1\ne0\end{matrix}\right.\)

Ta có \(m^2+m+1>0\forall m\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m_1=1\\m_2=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

e/

\(\Rightarrow4mx-\left(m+5\right)=\left(3m^2+1\right)x+m^2-4\) tìm m để phương trình có nghiệm

Tìm giao

\(\Rightarrow4mx-\left(m+5\right)=\left(3m^2+1\right)x+m^2-4\) khi m=2

Thay m=2 tìm x rồi thay vào d1 hoặc d2 để tìm y

\(4\sqrt{5x}-\sqrt{45x}=10\left(dkxd:x\ge0\right)\)

\(\Leftrightarrow4\sqrt{5x}-\sqrt{3^2\cdot5x}=10\)

\(\Leftrightarrow4\sqrt{5x}-3\sqrt{5x}=10\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{5x}=10\)

\(\Leftrightarrow5x=100\)

\(\Leftrightarrow x=20\left(tm\right)\)

\(4\sqrt{5\:x\:}-\sqrt{45x\:}\) = 10 ( ĐK : x >=0 )

<=> \(4\sqrt{5x\:}-\sqrt{9}.\sqrt{5x}\) = 10

<=> 4 √5x. -  3√5x = 10

<=> √5x = 10

<=> 5x = 100

<=> x = 20 ( tm )

Đkxđ: \(x\ge3\)

pt đã cho \(\Leftrightarrow x^2-x-12+3\left(\sqrt{x-3}-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-4\right)\left(x+3\right)+3.\dfrac{x-4}{\sqrt{x-3}+1}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-4\right)\left(x+3+\dfrac{3}{\sqrt{x-3}+1}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4\left(nhận\right)\\x+3+\dfrac{3}{\sqrt{x-3}+1}=0\left(vôlí\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất \(x=4\)

(2√3 - √50) . √3 + 3√6

= 18 - 5√6 + 3√6

= 18 - 2√6

a) Để tính AC, ta sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông: AC^2 = AB^2 + BC^2. Với AB = 12cm và BC = 20cm, ta có: AC^2 = 12^2 + 20^2 = 144 + 400 = 544. Do đó, AC = √544 ≈ 23.32cm.

Để tính góc B, ta sử dụng công thức sin(B) = BC/AC. Với BC = 20cm và AC = 23.32cm, ta có: sin(B) = 20/23.32 ≈ 0.857. Từ đó, góc B ≈ arcsin(0.857) ≈ 58.62°.

Để tính AH, ta sử dụng công thức cos(B) = AH/AC. Với góc B ≈ 58.62° và AC = 23.32cm, ta có: cos(B) = AH/23.32. Từ đó, AH = 23.32 * cos(58.62°) ≈ 11.39cm.

b) Ta cần chứng minh AE.AC = AB^2 - HB^2. Vì ΔABC vuông tại A, ta có: AE = AB * sin(B) (theo định lý sin trong tam giác vuông) AC = AB * cos(B) (theo định lý cos trong tam giác vuông) HB = AB * sin(B) (theo định lý sin trong tam giác vuông)

Thay các giá trị vào biểu thức cần chứng minh: AE.AC = (AB * sin(B)) * (AB * cos(B)) = AB^2 * sin(B) * cos(B) = AB^2 * (sin(B) * cos(B)) = AB^2 * (sin^2(B) / sin(B)) = AB^2 * (1 - sin^2(B)) = AB^2 * (1 - (sin(B))^2) = AB^2 * (1 - (HB/AB)^2) = AB^2 - HB^2

Vậy, ta đã chứng minh AE.AC = AB^2 - HB^2.

c) Ta cần chứng minh AF = AE * tan(B). Vì ΔABC vuông tại A, ta có: AE = AB * sin(B) (theo định lý sin trong tam giác vuông) AF = AB * cos(B) (theo định lý cos trong tam giác vuông)

Thay các giá trị vào biểu thức cần chứng minh: AF = AB * cos(B) = AB * (cos(B) / sin(B)) * sin(B) = (AB * cos(B) / sin(B)) * sin(B) = AE * sin(B) = AE * tan(B)

Vậy, ta đã chứng minh AF = AE * tan(B).

d) Ta cần chứng minh tỉ lệ giữa các đường cao trong tam giác vuông ΔABC. CE/BF = AC/AB

Vì ΔABC vuông tại A, ta có: CE = AC * cos(B) (theo định lý cos trong tam giác vuông) BF = AB * cos(B) (theo định lý cos trong tam giác vuông)

Thay các giá trị vào biểu thức cần chứng minh: CE/BF = (AC * cos(B)) / (AB * cos(B)) = AC/AB

Vậy, ta đã chứng minh CE/BF = AC/AB.