a) ta có: M là trung điểm của AB, N là trung điểm BC

\(\Rightarrow MN\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow MN\) // \(AC\) hay \(MN\) // \(AD\)

ta có: N là trung điểm BC; D là trung điểm AC

⇒ ND là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

⇒ ND // AB hay ND // MA

xét tứ giác NMAD, có:

MN // AD (chứng minh trên)

MA // ND (chứng minh trên)

⇒ tứ giác NMAD là hình bình hành

⇒ MD = AN

b) Xét tứ giác BMDN, có:

\(ND=BM\) (Vì ND là đường trung bình của ΔABC)

Lại có: ND // AB ⇒ ND // BM

⇒ tứ giác BMDN là hình bình hành

Lại có: O là trung điểm của đường chéo MN

⇒ O cũng là trung điểm đường chéo BD

⇒ 3 điểm B; O; D thẳng hàng

a: Xét ΔABC có AD là phân giác

nên \(\dfrac{DB}{AB}=\dfrac{DC}{AC}\)

=>\(\dfrac{DB}{9}=\dfrac{DC}{12}\)

=>\(\dfrac{DB}{3}=\dfrac{DC}{4}\)

mà DB+DC=BC=15cm

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{DB}{3}=\dfrac{DC}{4}=\dfrac{DB+DC}{3+4}=\dfrac{15}{7}\)

=>\(DB=3\cdot\dfrac{15}{7}=\dfrac{45}{7}\left(cm\right);DC=4\cdot\dfrac{15}{7}=\dfrac{60}{7}\left(cm\right)\)

b: Vì \(\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{45}{7}:\dfrac{60}{7}=\dfrac{3}{4}\)

nên \(\dfrac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\dfrac{3}{4}\)

a: Sửa đề: MH//CD

Xét ΔADC có

M,H lần lượt là trung điểm của AD,AC

=>MH là đường trung bình của ΔADC

=>MH//DC và \(MH=\dfrac{DC}{2}\)

Xét ΔCABcó 

N,H lần lượt là trung điểm của CB,CA

=>NH là đường trung bình của ΔCAB

=>NH//AB và \(NH=\dfrac{AB}{2}\)

b: MH+HN<=MN

=>\(\dfrac{1}{2}\left(AB+CD\right)< =MN\)

=>\(MN>=\dfrac{1}{2}\left(AB+CD\right)\)

a: Xét ΔABC có EI//BC

nên \(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AI}{AC}\left(1\right)\)

Xét ΔADC có FI//DC

nên \(\dfrac{AI}{AC}=\dfrac{AF}{AD}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AD}\)

Xét ΔABD có \(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AD}\)

nên EF//BD

b: Xét ΔCBA có GI//AB

nên \(\dfrac{CG}{BG}=\dfrac{CI}{IA}\left(3\right)\)

Xét ΔCAD có IH//AD

nên \(\dfrac{CI}{IA}=\dfrac{CH}{HD}\left(4\right)\)

Từ (3),(4) suy ra \(\dfrac{CG}{BG}=\dfrac{CH}{HD}\)

=>\(CG\cdot HD=BG\cdot CH\)

Đề không đẩy đủ? Bạn muốn chứng minh gì nhỉ?

a: Ta có: AK=KO=OH

=>\(AK=KO=OH=\dfrac{1}{3}AH\)

=>\(AO=\dfrac{2}{3}AH;AK=\dfrac{1}{3}AH\)

Xét ΔAHB có EK//BH

nên \(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AK}{AH}\)

=>\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{1}{3}\)

Xét ΔABH có MO//BH

nên \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AO}{AH}\)

=>\(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{2}{3}\)

Xét ΔABC có EF//BC

nên \(\dfrac{EF}{BC}=\dfrac{AE}{AB}\)

=>\(\dfrac{EF}{BC}=\dfrac{1}{3}\)

=>\(EF=\dfrac{BC}{3}=\dfrac{30}{3}=10\left(cm\right)\)

Xét ΔABC có MP//BC

nên \(\dfrac{MP}{BC}=\dfrac{AM}{AB}\)

=>\(\dfrac{MP}{30}=\dfrac{2}{3}\)

=>\(MP=20\left(cm\right)\)

b: Xét ΔAMP và ΔABC có 

\(\widehat{AMP}=\widehat{ABC}\)(hai góc đồng vị, MP//BC)

\(\widehat{MAP}\) chung

Do đó: ΔAMP~ΔABC

=>\(\dfrac{S_{AMP}}{S_{ABC}}=\left(\dfrac{AM}{AB}\right)^2\)

=>\(\dfrac{S_{AMP}}{10.8}=\dfrac{4}{9}\)

=>\(S_{AMP}=4,8\left(dm^2\right)\)

Xét ΔAEF và ΔABC có

\(\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\)(hai góc đồng vị, EF//BC)

\(\widehat{FAE}\) chung

Do đó: ΔAEF~ΔABC

=>\(\dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\left(\dfrac{AE}{AB}\right)^2=\dfrac{1}{9}\)

=>\(S_{AEF}=\dfrac{10.8}{9}=1,2\left(dm^2\right)\)

Ta có: \(S_{AEF}+S_{MEFP}=S_{AMP}\)

=>\(S_{MEFP}+1,2=4,8\)

=>\(S_{MEFP}=3,6\left(dm^2\right)\)

\(A=\dfrac{2}{6x-5-9x^2}\)

\(=\dfrac{2}{-9x^2+6x-5}\)

\(=\dfrac{2}{-\left(9x^2-6x+5\right)}\)

\(=\dfrac{2}{-\left(9x^2-6x+1+4\right)}\)

\(=\dfrac{2}{-\left(3x-1\right)^2-4}\)

\(\left(3x-1\right)^2>=0\forall x\)

=>\(-\left(3x-1\right)^2< =0\forall x\)

=>\(-\left(3x-1\right)^2-4< =-4\forall x\)

=>\(A=\dfrac{2}{-\left(3x-1\right)^2-4}>=\dfrac{2}{-4}=-\dfrac{1}{2}\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi 3x-1=0

=>3x=1

=>\(x=\dfrac{1}{3}\)

a: Xét ΔAEH vuông tại E và ΔAHC vuông tại H có

\(\widehat{EAH}\) chung

Do đó: ΔAEH~ΔAHC

b: Ta có: ΔAEH vuông tại E

=>\(EH^2+EA^2=AH^2\)

=>\(EH^2=10^2-6^2=64=8^2\)

=>EH=8(cm)

Xét ΔAHE có AM là phân giác

nên \(\dfrac{MH}{AH}=\dfrac{ME}{AE}\)

=>\(\dfrac{MH}{10}=\dfrac{ME}{6}\)

=>\(\dfrac{MH}{5}=\dfrac{ME}{3}\)

mà MH+ME=EH=8cm

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{MH}{5}=\dfrac{ME}{3}=\dfrac{MH+ME}{5+3}=\dfrac{8}{8}=1\)

=>MH=5(cm); ME=3(cm)

c: Xét ΔHEC có HN là phân giác

nên \(\dfrac{EN}{NC}=\dfrac{EH}{HC}\left(1\right)\)

Xét ΔAHE có AM là phân giác

nên \(\dfrac{EM}{MH}=\dfrac{EA}{AH}\left(2\right)\)

Xét ΔEHA vuông tại E và ΔHCA vuông tại H có

\(\widehat{EAH}\) chung

Do đó: ΔEHA~ΔHCA

=>\(\dfrac{EA}{HA}=\dfrac{EH}{HC}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\dfrac{EM}{MH}=\dfrac{EN}{NC}\)

Xét ΔEHC có \(\dfrac{EM}{MH}=\dfrac{EN}{NC}\)

nên MN//HC

=>MN//BC

mà AH\(\perp\)BC

nên HA\(\perp\)MN

Xét ΔAHN có

NM,HE là các đường cao

NM cắt HE tại M

Do đó: M là trực tâm của ΔAHN

=>AM\(\perp\)HN

Gọi số tự nhiên ban đầu là X

Viết thêm chữ số 2 vào bên trái và một chữ số 2 vào bên phải thì số mới sẽ là 10X+2000+2=10X+2002

Số mới gấp 153 lần số ban đầu nên ta có:

10X+2002=153X

=>143X=2002

=>\(X=\dfrac{2002}{143}=14\left(nhận\right)\)

Vậy: Số cần tìm là 14