Bài 2: Tính giá trị biểu thức:

15083 - 3168 : 24

= 15083 - 132

= 14951

A = \(\dfrac{2}{1.3}\) + \(\dfrac{2}{3.5}\) + ... + \(\dfrac{2}{9.11}\)

A = \(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{3}\) + \(\dfrac{1}{3}\) - \(\dfrac{1}{5}\) + ... + \(\dfrac{1}{9}\) - \(\dfrac{1}{11}\)

A =   \(\dfrac{1}{1}\) - \(\dfrac{1}{11}\) 

A = \(\dfrac{10}{11}\)

Để giải phép tính A=21⋅3+23⋅5+25⋅7+⋯+29⋅11A = \frac{2}{1 \cdot 3} + \frac{2}{3 \cdot 5} + \frac{2}{5 \cdot 7} + \cdots + \frac{2}{9 \cdot 11} dưới dạng siêu phức tạp, ta sẽ thực hiện các bước trung gian phức tạp và giải thích chi tiết từng phần của phép toán.

Ta có tổng sau:

A=21⋅3+23⋅5+25⋅7+⋯+29⋅11A = \frac{2}{1 \cdot 3} + \frac{2}{3 \cdot 5} + \frac{2}{5 \cdot 7} + \cdots + \frac{2}{9 \cdot 11}

Mỗi phần tử trong tổng là một phân số có mẫu số là tích của hai số lẻ liên tiếp. Tổng quát, ta có thể viết mỗi phần tử theo dạng:

2(2n−1)(2n+1)vớin=1,2,3,…,5.\frac{2}{(2n-1)(2n+1)} \quad \text{với} \quad n = 1, 2, 3, \dots, 5.

Vậy tổng có thể viết lại là:

A=∑n=152(2n−1)(2n+1)A = \sum_{n=1}^{5} \frac{2}{(2n-1)(2n+1)}

Ta sẽ đơn giản hóa từng phân số trong tổng. Dễ dàng nhận thấy rằng mỗi phân số có thể rút gọn bằng cách sử dụng phép phân tích thành phần phân số (phương pháp phân tích phân số thành phần nhỏ hơn).

2(2n−1)(2n+1)=A2n−1+B2n+1\frac{2}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{A}{2n-1} + \frac{B}{2n+1}

Với mục đích tìm AA và BB, ta giải phương trình sau:

2(2n−1)(2n+1)=A2n−1+B2n+1\frac{2}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{A}{2n-1} + \frac{B}{2n+1}

Nhân cả hai vế với (2n−1)(2n+1)(2n-1)(2n+1):

2=A(2n+1)+B(2n−1)2 = A(2n+1) + B(2n-1)

Mở rộng các biểu thức:

2=A(2n)+A+B(2n)−B2 = A(2n) + A + B(2n) - B

Nhóm các hạng tử theo nn:

2=(2n)(A+B)+(A−B)2 = (2n)(A + B) + (A - B)

Vì phương trình này phải đúng với mọi giá trị của nn, ta có hệ phương trình:

A+B=0A + B = 0 A−B=2A - B = 2

Giải hệ này:

A=1vaˋB=−1A = 1 \quad \text{và} \quad B = -1

Vậy ta có:

2(2n−1)(2n+1)=12n−1−12n+1\frac{2}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}

Ta thay vào biểu thức tổng ban đầu:

A=∑n=15(12n−1−12n+1)A = \sum_{n=1}^{5} \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right)

Viết cụ thể từng phần tử:

A=(11−13)+(13−15)+(15−17)+(17−19)+(19−111)A = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) + \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{9} \right) + \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{11} \right)

Quan sát rằng tổng này là một chuỗi lũy tiến mà trong đó các hạng tử sẽ hủy bỏ lẫn nhau. Cụ thể:

A=1−111A = 1 - \frac{1}{11}

Vậy:

A=1111−111=1011A = \frac{11}{11} - \frac{1}{11} = \frac{10}{11}

Do đó, kết quả của phép tính AA là:

A=1011A = \frac{10}{11}

           (2n - 1) ⋮ (6 - n)

[-2(6 - n) + 11] ⋮ (6 - n)

                  11 ⋮ (6 - n)

  (6 - n) \(\in\) Ư(11) = {-11; -1; 1; 11}

Theo bảng trên ta có: n \(\in\) { 17; 7; 5; -5}

Vậy n \(\in\) {17; 7; 5; -5}

(2n - 1) ⋮ (6 - n) (1)

Ta có:

(6 - n) ⋮ (6 - n)

=> 2. (6 - n) ⋮ (6 - n)

=> (12 - 2n) ⋮ (6 - n) (2)

Từ (1) và (2)

=> (2n - 1) + (12 - 2n) ⋮ (6 - n)

=> 2n - 1 + 12 - 2n ⋮ (6 - n)

=> 11 ⋮ (6 - n)

=> (6 - n) ϵ Ư (11) = {1; 11; -1; -11}

Ta có bảng sau:

Vậy n ϵ {5; -5; 7; 17}

2\(xy\) + \(x+2y\) = 4

(2\(xy\) + 2y) + (\(x\) + 1) =5

2y(\(x+1\)) + (\(x+1\))  =5

  (\(x+1\))(2y + 1) = 5

5 = 5; Ư(5)  = {-5; -1; 1; 5}

lập bảng ta có:

Theo bảng trên ta có (\(x;y\))  =(-6; -1); (-2; -3); (0; 2); (4; 0)

Vậy các cặp \(x;y\) nguyên thỏa mãn đề bài là: (-6; -1);(-2; -3); (0; 2); (4; 0)

  \(\dfrac{8}{5}\).\(\dfrac{6}{19}\) + \(\dfrac{13}{19}\).\(\dfrac{16}{19}\) + \(\dfrac{2}{5}\)

= \(\dfrac{6}{19}\).(\(\dfrac{8}{5}\) + \(\dfrac{13}{19}\)) + \(\dfrac{2}{5}\)

= \(\dfrac{6}{19}\).\(\dfrac{217}{95}\) + \(\dfrac{2}{5}\)

= \(\dfrac{19520}{1805}\) + \(\dfrac{2}{5}\)

= \(\dfrac{2674}{1805}\)

giáo viên rác v, dòng thứ 2, 3, 4 sai hoàn toàn mà lại đúng đc kết quả

(2n  - 3)⋮ (n  +1) ( -1 ≠ n; n \(\in\) Z)

[2(n  + 1) - 5] ⋮ (n + 1)

                 5 ⋮ (n  + 1)

   (n + 1) \(\in\) Ư(5) = {-5; -1; 1; 5}

Lập bảng ta có: 

Theo bảng trên ta có n \(\in\) {-6; -2; 0; 4}

Vậy n \(\in\) {-6; -2; 0; 4} 

 ta có :2n-3 ⋮ n+1

    suy ra : 2(n+1)-5 ⋮ n+1 | giải thích :2n-3=2(n+1)-5=2n+2-5→2-5=-3

       mà n+1 ⋮ n+1

        nên  2.n+1 ⋮ n+1

       suy ra : -5 ⋮ n+1

        do đó : n+1 ϵ ư(-5)={-1;1;-5;5}

          ...

Giải:

Mọi số tự nhiên N dều có thể viết dưới dạng phân số có tử số là chính nó và mẫu số là 1. Vậy mọi số tự nhiên N đều có thể biểu diễn dưới dạng số hữu tỉ, nên N \(\subset\) Q là đúng

2.\(3^{x+5}\) = 54 

  \(3^{x+5}\) = 54 : 2

  3\(^{x+5}\) = 27

  3\(^{x+5}\) = \(3^3\)

   \(x+5\) = 3

   \(x\) = 3 - 5

   \(x=-2\)

Vậy \(x=-2\) 

Chu vi hình thoi là:

`5 . 4 = 20 (cm)`

Diện tích hình thoi là:

`1/2 . 6 . 8 = 24 (cm^2)`

         Đây là toán nâng cao chuyên đề tổng tỉ, ẩn tỉ, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này như sau:

                                        Giải:

Vì giá tiền mỗi lít xăng của tháng này so với giá tiền mỗi lít xăng của tháng trước là như nhau, nên tỉ số số tiền xăng tháng trước và số tiền xăng tháng này là tỉ số số lít xăng của tháng trước và số lít xăng của tháng này và bằng \(\dfrac{4}{3}\).

  Ta có sơ đồ

Theo sơ đồ ta có:

Số tiền xăng tháng trước là: 546 000 : (4 + 3)  x 4  = 312 000 (đồng)

Số lít xăng tháng trước mà cô Tư đã đổ là: 312 000: 24 000 = 13 (l)

Đáp số: 13 l