a.

Do MA là tiếp tuyến \(\Rightarrow MA\perp OA\)

\(\Rightarrow M,A,O\) cùng thuộc đường tròn đường kính OM

Do MB là tiếp tuyến \(\Rightarrow MB\perp OB\)

\(\Rightarrow M,B,O\) cùng thuộc đường tròn đường kính OM

\(\Rightarrow\) Tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn đường kính OM

Do OM là đường kính nên tâm đường tròn là trung điểm OM.

b.

Do MAOB nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{AOB}+\widehat{AMB}=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{AMB}=180^0-120^0=60^0\) (1)

Lại có M là giao điểm 2 tiếp tuyến tại A và B

\(\Rightarrow MA=MB\)

\(\Rightarrow\Delta AMB\) cân tại M (2)

(1);(2) \(\Rightarrow\Delta AMB\) đều (tam giác cân có 1 góc bằng 60 độ)

c.

Xét hai tam giác MAC và MDA có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AMC}\text{ chung}\\\widehat{MAC}=\widehat{MDA}\left(\text{cùng chắn AC}\right)\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow\Delta MAC\sim\Delta MDA\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{MA}{MD}=\dfrac{MC}{MA}\Rightarrow MC.MD=MA^2\)

a: Xét (O) có

\(\widehat{BAC}\) là góc nội tiếp chắn cung BC

Do đó: \(sđ\stackrel\frown{BC}=\widehat{BOC}=2\cdot\widehat{BAC}=120^0\)

b: M là điểm chính giữa của cung BC

=>\(sđ\stackrel\frown{MB}=sđ\stackrel\frown{MC}=\dfrac{sđ\stackrel\frown{BC}}{2}=60^0\)

Xét (O) có \(\widehat{AIB}\) là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn chắn hai cung AB và MC

nên \(\widehat{AIB}=\dfrac{1}{2}\cdot\left(sđ\stackrel\frown{AB}+sđ\stackrel\frown{MC}\right)\)

=>\(\widehat{AIB}=\dfrac{1}{2}\left(sđ\stackrel\frown{AB}+sđ\stackrel\frown{MB}\right)=\dfrac{1}{2}\left(100^0+60^0\right)=80^0\)

Xét (O) có

\(\widehat{AMC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\widehat{AMC}=\widehat{ABC}=70^0\)

=>\(\widehat{AIB}>\widehat{AMC}\)

a) \(P=\dfrac{x}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(1-\sqrt{y}\right)}-\dfrac{y}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(1+\sqrt{x}\right)}-\dfrac{xy}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(1-\sqrt{y}\right)}\)

ĐK: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge0;y\ge0\\\sqrt{x}+\sqrt{y}\ne0\\\sqrt{x}+1\ne0\\1-\sqrt{y}\ne0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge0;y\ge0\\x^2+y^2>0\\y\ne1\end{matrix}\right.\) 

\(P=\dfrac{x\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(1-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}-\dfrac{y\left(1-\sqrt{y}\right)}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(1-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}-\dfrac{xy\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(1-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(P=\dfrac{x\sqrt{x}+x-y+y\sqrt{y}-xy\sqrt{x}-xy\sqrt{y}}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(1-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(P=\dfrac{\left(x\sqrt{x}+y\sqrt{y}\right)+\left(x-y\right)-\left(xy\sqrt{x}+xy\sqrt{y}\right)}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(1-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(P=\dfrac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(x-\sqrt{xy}+y\right)+\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)-xy\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(1-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(P=\dfrac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(x-\sqrt{xy}+y+\sqrt{x}-\sqrt{y}-xy\right)}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(1-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(P=\dfrac{\left(x-xy\right)+\left(-\sqrt{y}+y\right)+\left(\sqrt{x}-\sqrt{xy}\right)}{\left(1-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(P=\dfrac{x\left(1-y\right)-\sqrt{y}\left(1-\sqrt{y}\right)+\sqrt{x}\left(1-\sqrt{y}\right)}{\left(1-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(P=\dfrac{x\left(1-\sqrt{y}\right)\left(1+\sqrt{y}\right)-\sqrt{y}\left(1-\sqrt{y}\right)+\sqrt{x}\left(1-\sqrt{y}\right)}{\left(1-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(P=\dfrac{\left(1-\sqrt{y}\right)\left(x+x\sqrt{y}-\sqrt{y}+\sqrt{x}\right)}{\left(1-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(P=\dfrac{x+x\sqrt{y}-\sqrt{y}+\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\)   

\(P=\dfrac{\left(x+\sqrt{x}\right)+\left(x\sqrt{y}-\sqrt{y}\right)}{\sqrt{x}+1}\)

\(P=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)+\sqrt{y}\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}+1}\)

\(P=\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{xy}-\sqrt{y}\right)}{\sqrt{x}+1}\)

\(P=\sqrt{x}+\sqrt{xy}-\sqrt{y}\)

b) \(P=2\) khi: 

\(\sqrt{x}+\sqrt{xy}-\sqrt{y}=2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\left(\sqrt{y}+1\right)-\sqrt{y}-1=2-1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\left(\sqrt{y}+1\right)-\left(\sqrt{y}+1\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{y}+1\right)=1\)

Mà: x,y là nguyên \(\Rightarrow\sqrt{x}-1,\sqrt{y}+1\inƯ\left(1\right)=\left\{1;-1\right\}\)

Mặt khác: \(\sqrt{y}+1\ge1\) nên ta có:

\(\sqrt{y}+1=1\Leftrightarrow y=0\) (tm)

\(\Rightarrow\sqrt{x}-1=1\Leftrightarrow\sqrt{x}=2\Leftrightarrow x=4\) (tm) 

Vậy: \(\left(x;y\right)=\left(4;0\right)\)

\(P=\left(a^2+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{16}\right)+\left(b^2+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{16}\right)-\dfrac{3}{8}\)

\(P\ge4\sqrt[4]{\dfrac{a^2}{16^3}}+4\sqrt[4]{\dfrac{b^2}{16^3}}-\dfrac{3}{8}=\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)-\dfrac{3}{8}=\dfrac{1}{8}\)

\(P_{min}=\dfrac{1}{8}\) khi \(a=b=\dfrac{1}{4}\)

Do \(\left\{{}\begin{matrix}a;b\ge0\\\sqrt{a}+\sqrt{b}=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}0\le a\le1\\0\le b\le1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{a}\ge a^2\\\sqrt{b}\ge b^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a^2+b^2\le\sqrt{a}+\sqrt{b}=1\)

\(P_{max}=1\) khi \(\left(a;b\right)=\left(1;0\right);\left(0;1\right)\)

Tuần trước tuần trở in

Do (d) đi qua A nên:

\(0.m+n=-1\Rightarrow n=-1\)

\(\Rightarrow y=mx-1\)

Pt hoành độ giao điểm (P) và (d):

\(\dfrac{1}{2}x^2=mx-1\Leftrightarrow x^2-2mx+2=0\) (1)

(d) tiếp xúc (P) khi và chỉ khi (1) có nghiệm kép

\(\Rightarrow\Delta'=m^2-2=0\Rightarrow m=\pm\sqrt{2}\)

- Với \(m=\sqrt{2}\Rightarrow x=-\dfrac{b}{2a}=\sqrt{2}\Rightarrow y=\dfrac{1}{2}x^2=1\)

Tọa độ tiếp điểm là \(\left(\sqrt{2};1\right)\)

- Với \(m=-\sqrt{2}\Rightarrow x=-\dfrac{b}{2a}=-\sqrt{2}\Rightarrow y=1\) 

Tọa độ tiếp điểm là \(\left(-\sqrt{2};1\right)\)

Ta có pt: \(x^2-2mx+m^2=0\)

\(\Delta=\left(-2m\right)^2-4\cdot1\cdot m^2=0\)

Khi phương trình luôn có nghiệm kép với mọi m \(\Rightarrow x_1< x_2\) vô lý 

Chỉ có thể tìm được m nếu \(2000< x_1=x_2< 2007\)  

Khi đó: \(x_1=x_2=\dfrac{-\left(-2m\right)}{2}=m\)

\(\Rightarrow2000< m< 2007\)

Các số nguyên m thỏa mãn là: 

\(m\in\left\{2001;2002;2003;2004;2005;2006\right\}\)

ĐKXĐ: \(x\ge-\dfrac{1}{2};x\ne0\)

\(\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{x}=\sqrt{2x+1}-\sqrt{x+2}\)

\(\Leftrightarrow-\dfrac{x-1}{x^2}=\dfrac{x-1}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+2}}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+2}}+\dfrac{1}{x^2}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x-1=0\) (do \(\dfrac{1}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+2}}+\dfrac{1}{x^2}\) luôn dương)

\(\Leftrightarrow x=1\)

Đk: \(x\ge-\dfrac{1}{2},x\ne0\)

pt \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{x}=\sqrt{2x+1}-\sqrt{x+2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1-x}{x^2}=\dfrac{2x+1-\left(x+2\right)}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+2}}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1-x}{x^2}=\dfrac{x-1}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+2}}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+2}}+\dfrac{1}{x^2}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=1\) (vì \(\dfrac{1}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+2}}+\dfrac{1}{x^2}>0\))

Vậy \(S=\left\{1\right\}\)