Ta có: \(EF//AM\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{FEC}=\widehat{AMC}\) (đồng vị) 

Xét hai tam giác FEC và AMC có:

\(\widehat{FCE}\) chung 

\(\widehat{FEC}=\widehat{AMC}\) (cmt) 

\(\Rightarrow\Delta FEC\sim\Delta AMC\) (g.g)  

\(\Rightarrow\dfrac{EF}{AM}=\dfrac{CE}{CM}\Rightarrow\dfrac{CM}{AM}=\dfrac{CE}{EF}\) (1) 

Chứng minh tương tự ta có: \(\Delta BEG\sim\Delta BMA\left(g.g\right)\) 

\(\Rightarrow\dfrac{EG}{AM}=\dfrac{BE}{BM}\Rightarrow\dfrac{CM}{AM}=\dfrac{BE}{EG}\) (vì \(CM=BM\)) (2) 

Từ (1) và (2) ta có: 

\(\dfrac{CE}{EF}=\dfrac{BE}{EG}\Rightarrow EG\cdot CE=EF\cdot BE\)

\(\Rightarrow EG\cdot\left(BC-BE\right)=EF\cdot BE\)

\(\Rightarrow EG\cdot BC-EG\cdot BE=EF\cdot BE\)

\(\Rightarrow EF\cdot BE+EG\cdot BE=EG\cdot BC\)  

\(\Rightarrow EF+EG=\dfrac{EG\cdot BC}{BE}\left(3\right)\) 

Từ (2) ta có: \(\dfrac{EG}{AM}=\dfrac{BE}{BM}\) 

\(\Rightarrow BM\cdot EG=BE\cdot AM\Rightarrow\dfrac{1}{2}BC\cdot EG=BE\cdot AM\) 

\(\Rightarrow EG\cdot BC=2AM\cdot BE\)

\(\Rightarrow2AM=\dfrac{EG\cdot BC}{BE}\left(4\right)\)

Từ (3) và (4) \(\Rightarrow EF+EG=2AM\) (đpcm) 

a/

Ta có M và A cùng nhìn OC dưới 1 góc \(90^o\) => ACMO là tứ giác nội tiếp

b/

Xét tg vuông BED và tg vuông AEC có \(\widehat{BED}\) chung

=> tg BED đồng dạng với tg AEC (g.g.g)

\(\Rightarrow\dfrac{DB}{CA}=\dfrac{DE}{CE}\)

Mà 

\(DB=DM;CA=CM\) (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm...)\(\Rightarrow\dfrac{DB}{CA}=\dfrac{DM}{CM}=\dfrac{DE}{CE}\Rightarrow DM.CE=CM.DE\)

c/

Ta có

\(CA\perp AB\left(gt\right);DB\perp AB\left(gt\right)\) => CA//DB

\(\Rightarrow\dfrac{BN}{CN}=\dfrac{DB}{CA}\) (Talet)

Mà \(\dfrac{DM}{CM}=\dfrac{DB}{CA}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{BN}{CN}=\dfrac{DM}{CM}\) => MN//BD (Talet đảo trong tam giác)

Xét \(\Delta ABE\) có

\(AE=AB\Rightarrow\Delta ABE\) cân tại A

Ta có \(MB=ME\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{EAM}=\dfrac{\widehat{BAC}}{2}=\dfrac{90^o}{2}=45^o\)  và \(AM\perp BE\)(Trong tg cân đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh tg cân đồng thời là đường cao và đường phân giác của góc ở đỉnh tg cân)

Ta có M và H cùng nhìn AB dưới một góc \(90^o\) => ABHM là tứ giác nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{ABE}=\widehat{AHM}=45^o\) (góc nt cùng chắn cung AM)

\(\Rightarrow\widehat{CHM}=\widehat{AHC}-\widehat{AHM}=90^o-45^o=45^o\)

\(\Rightarrow\widehat{AHM}=\widehat{CHM}=45^o\) => HM là phân giác của \(\widehat{AHC}\)

Gọi số xe dự định tham gia chở hàng là x (xe) với x>4, x nguyên dương

Mỗi xe dự định chở khối lượng hàng là: \(\dfrac{20}{x}\) (tấn)

Số xe thực tế tham gia chở hàng là: \(x-4\) (xe)

Thực tế mỗi xe phải chở số hàng là: \(\dfrac{20}{x-4}\) (tấn)

Do thực tế mỗi xe phải chở nhiều hơn dự định là 5/6 tấn hàng nên ta có pt:

\(\dfrac{20}{x-4}-\dfrac{20}{x}=\dfrac{5}{6}\)

\(\Rightarrow24x-24\left(x-4\right)=x\left(x-4\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2-4x-96=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=12\\x=-8\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy thực tế có \(12-4=8\) xe tham gia vận chuyển