Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh  AB và CD.

Ta có tam giác ANB cân tại N,

-> MN vuông góc AB.

Tam giác ADB = Tam giác ACB, ta có:

MD=MC -> Tam giác MDC cân tại M.

-> MN vuông góc CD

Do đó ta suy ra MN là đoạn vuông góc chung của cạnh AB và CD.

Ta có khoảng cách từ cạnh AB đến CD là MN:

MN= căn bậc a (AN^2-AM^2)= √2/2

Đáp số: khoảng cách giữa cạnh AB và CD là √2/2

Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Khi đó:

\(\Delta ACD\)và \(\Delta BCD\)là 2 tam giác đều cạnh 3 nên AN=BN=\(\frac{3\sqrt{3}}{2}\)

Đồng thời \(\Delta ABC=\Delta ABD\)nên CM=DM

Do đó MAB và NCD là 2 tam giác cân tại M và N

Vậy MN _|_ BA và MN _|_ CD

Ta có MN=\(\sqrt{NB^2-MB^2}=\sqrt{\frac{27}{4}-\frac{25}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Dựng CH _|_ AB => CH _|_ (SAB)

Giả sử MN cắt AD tại F. Theo định lý Talet ta có:

\(\frac{DF}{MC}=\frac{ND}{NC}=\frac{1}{2}\Rightarrow DF=\frac{MC}{2}=\frac{a}{4}\)

Khi đó \(\frac{PA}{PC}=\frac{AF}{MC}=\frac{5}{2}\Rightarrow\frac{CA}{PA}=\frac{7}{5}\)

Do đó: d (P;(SAB))=\(\frac{5}{7}d\left(C;\left(SAB\right)\right)=\frac{5}{7}CH=\frac{5}{7}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{5a\sqrt{3}}{14}\)

\(\dfrac{\sqrt{3}a5}{14}\)

Ta có \(\frac{d\left(A,\left(SCD\right)\right)}{d\left(M,\left(SCD\right)\right)}=2\Rightarrow d=\left(m,\left(SCD\right)\right)=\frac{1}{2}d\left(A,\left(SCD\right)\right)\)

Dễ thấy AC _|_ CD, SA _|_ CD dựng AH _|_ SA => AH _|_ (SCD)

Vậy d(A,(SCD))=AH

Xét tam giác vuông SAC (A=1v) có \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AC^2}+\frac{1}{AS^2}\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{6}}{3}\)

Vậy suy ra \(d\left(M,\left(SCD\right)\right)=\frac{a\sqrt{6}}{3}\)

$E=AB\cap CD,G=EN\cap SB\Rightarrow G$ là trọng tâm tam giác SAE.

$d\left(M,\left(NCD\right)\right)=\frac{GM}{GB}d\left(B,\left(NCD\right)\right)=\frac{1}{2}d\left(B,\left(NCD\right)\right)=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}d\left(A,\left(NCD\right)\right)=\frac{1}{4}d\left(A,\left(NCD\right)\right)=\frac{1}{4}h$ 

Tứ diện AEND vuông tại đỉnh A nên $\frac{1}{h^2}=\frac{1}{A{N}^2}+\frac{1}{A{E}^2}+\frac{1}{A{D}^2}=\frac{11}{6a^2}\Rightarrow h=\frac{a\sqrt{66}}{11}$ 

Vậy $d\left(M,\left(NCD\right)\right)=\frac{a\sqrt{66}}{44}.$ 

\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)a

d(h,(scd))=a\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

+ SA⊥(ABCD)⇒SA⊥BDSA⊥(ABCD)⇒SA⊥BD (1)

+ ABCD là hình vuông ⇒AC⊥BD⇒AC⊥BD (2)

+ Từ (1) và (2) suy ra BD⊥(SAC)⇒BD⊥SCBD⊥(SAC)⇒BD⊥SC

Ta có {BC⊥ABAB⊥SC⇒AB⊥CE{BC⊥ABAB⊥SC⇒AB⊥CE

Khi đó {CE⊥ABCE⊥SA⇒CE⊥(SAB){CE⊥ABCE⊥SA⇒CE⊥(SAB)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: SC2=SE.SB⇒SESB=SC2SB2SC2=SE.SB⇒SESB=SC2SB2, tương tự SDSE=SC2SA2SDSE=SC2SA2

Lại cả CA=AC√2=2a;VS.ABC=13SC.SABC=23a3CA=AC2=2a;VS.ABC=13SC.SABC=23a3

Khi đó VS.CDEVS.ABC=SESBSDSA=SC2SB2.SC2SA2=4648=13VS.CDEVS.ABC=SESBSDSA=SC2SB2.SC2SA2=4648=13

Do đó VS.CDE=13.23a3=2a39VS.CDE=13.23a3=2a39.

Hai mặt phẳng (AB′D′)(AB′D′) và (A′C′D)(A′C′D) có giao tuyến là EFEF như hình vẽ.

Hai tam giác ΔA′C′D=ΔD′AB′ΔA′C′D=ΔD′AB′ và EFEF là đường trung bình của hai tam giác nên từ A′A′ và D′D′ ta kẻ 2 đoạn vuông góc lên giao tuyến EFEF sẽ là chung một điểm HH như hình vẽ.

Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng cần tìm chính là góc giữa hai đường thẳng A′HA′H và D′HD′H.

Tam giác DEFDEF lần lượt có D′E=D′B′2=√132D′E=D′B′2=132, D′F=D′A2=52D′F=D′A2=52, EF=B′A2=√5EF=B′A2=5.

Theo hê rông ta có: SDEF=√614SDEF=614. Suy ra D′H=2SDEFEF=√30510D′H=2SDEFEF=30510.

Tam giác D′A′HD′A′H có: cosˆA′HD′=HA′2+HD′2−A′D′22HA′.HD′=−2961cos⁡A′HD′^=HA′2+HD′2−A′D′22HA′.HD′=−2961.

Do đó ˆA′HD′≈118,4∘A′HD′^≈118,4∘ hay (ˆA′H,D′H)≈180∘−118,4∘=61,6∘(A′H,D′H^)≈180∘−118,4∘=61,6∘.

Gọi $N$ và $P$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $AB$.

Theo tính chất đường trung bình trong tam giác ta có $NP//SB$ và $PC//AM$.

Suy ra $\alpha =\widehat{NP,PC}$.

Ta có $NP=\genfrac{}{}{0ex}{}{SB}{2}=\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{5}}{2}$ và $PC=AM=\sqrt{5}$;\\ $NC=+=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{4}=\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{33}}{2}.$

$\Rightarrow \cos \widehat{NPC}=\genfrac{}{}{0ex}{}{N{P}^2+P{C}^2-N{C}^2}{2.NP.PC}=\genfrac{}{}{0ex}{}{\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{4}+5-\genfrac{}{}{0ex}{}{33}{4}}{2.\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{5}}{2}.\sqrt{5}}=-\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{5}$.

Vậy $\cos \alpha =\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{5}$.2/5

Hai mặt phẳng (AB′D′)(AB′D′) và (A′C′D)(A′C′D) có giao tuyến là EFEF như hình vẽ.

Hai tam giácΔA′C′D=ΔD′AB′ΔA′C′D=ΔD′AB′và EFEF là đường trung bình của hai tam giác nên từ A′A′ và D′D′ ta kẻ 2 đoạn vuông góc lên giao tuyến EFEF sẽ là chung một điểm HH như hình vẽ.

Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng cần tìm chính là góc giữa hai đường thẳng A′HA′H và D′HD′H.

Tam giác DEFDEF lần lượt cóD′E=D′B′2=√132D′E=D′B′2=132,D′F=D′A2=52D′F=D′A2=52,EF=B′A2=√5EF=B′A2=5.

Theo hê rông ta có:SDEF=√614SDEF=614. Suy raD′H=2SDEFEF=√30510D′H=2SDEFEF=30510.

Tam giác D′A′HD′A′H có:cosˆA′HD′=HA′2+HD′2−A′D′22HA′.HD′=−2961cos⁡A′HD′^=HA′2+HD′2−A′D′22HA′.HD′=−2961.

Do đóˆA′HD′≈118,4∘A′HD′^≈118,4∘hay(ˆA′H,D′H)≈180∘−118,4∘=61,6∘(A′H,D′H^)≈180∘−118,4∘=61,6∘.

$D$ là hình chiếu vuông góc của $D^{\prime }$ trên $(ABCD)$.

$\Rightarrow \Delta ACD$ là hình chiếu vuông góc của $\Delta AC{D}^{\prime }$ trên mặt phẳng $(ABCD)$.

Do đó $\cos \alpha =\genfrac{}{}{0ex}{}{S^{ACD}}{S^{AC{D}^{\prime }}}$ với $\alpha$ là góc cần tìm.

Ta có \left\{ \begin{aligned} & DA^2 + DC^2 = 3\\ & DC^2 + DD'^2 = 4\\ & DA^2 + DD'^2 = 5\\ \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & DA^2 = 2\\ & DC^2 = 1\\ & DD'^2 = 3\\ \end{aligned}\right.⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​​DA2+DC2=3DC2+DD′2=4DA2+DD′2=5​⇔⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​​DA2=2DC2=1DD′2=3​.

$\Rightarrow S^{ACD}=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}.DA.DC=\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{2}}{2}$.

Dùng công thức Hê rông ta có $S^{AC{D}^{\prime }}=\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{11}}{2}$.

Vậy $\cos \alpha =\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{11}$.

gọi K thuộc SC sao cho DK ​​\(\perp\) SC , BK \(\perp\)SC

=> ((SCD),(SBC)) = (DK,KB)

tính được SD = \(\frac{\sqrt{10}}{2}\)a, AC = \(\sqrt{3}\)a, SC= \(\frac{3\sqrt{2}}{2}\)a

\(DC^2=SD^2+SC^2-2SD.SC.cos\widehat{DSC}\)

=> \(\widehat{DSC}\)=....... (số xấu)

\(sin\widehat{DSC}\)= \(\frac{DK}{SD}\)=> DK = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)=BK

\(DB^2=DK^2+BK^2-2.DK.BK.cos\alpha\)=> \(\alpha=\frac{\pi}{2}\)

quản lí hỏi để thử tài học sinh à

\(lim_{x\rightarrow0}\left(\frac{1-\sqrt{12x+1}}{4x}\right)\)

=\(lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\sqrt{12x+1}}{4x}\cdot\frac{1+\sqrt{12x+1}}{1+\sqrt{12x+1}}\)

=\(lim_{x\rightarrow0}\left(\frac{\left(1-\sqrt{12x+1}\right)\cdot\left(1+\sqrt{12x+1}\right)}{4x\cdot\left(1+\sqrt{12x+1}\right)}\right)\)

=\(lim_{x\rightarrow0}\left(\frac{1-12x-1}{4x\cdot\left(1+\sqrt{12x+1}\right)}\right)\)

=\(lim_{x\rightarrow0}\left(\frac{-12x}{4x\cdot\left(1+\sqrt{12x+1}\right)}\right)\)

=\(lim_{x\rightarrow0}\left(\frac{-12}{4\cdot\left(1+\sqrt{12x+1}\right)}\right)\)

=\(lim_{x\rightarrow0}\left(\frac{-3}{1+\sqrt{12x+1}}\right)\)

=\(-\frac{3}{1+1}\)

=\(-\frac{3}{2}\)