x⁴-x²+7

=(x²)²-2.x².1/2+1/4+27/4

=(x²-1/4)²+27/4\(\ge\)27/4 ( vì (x²-1/4)²\(\ge\)27/4)

dấu "=" xảy ra khi:

x²-1/4=0

<=>(x-1/2)(x+1/2)=0

<=>x-1/2=0 hoặc x+1/2=0

<=>x=1/2 hoặc x=-1/2

vậy GTNN của x⁴+x²+7 là 27/4 tại x=1/2 hoặc x=-1/2

\(\left(x-y+z\right)^2+\left(z-y\right)^2+2\left(x-y+z\right)\left(y-z\right)\)

\(=\left(x-y+z\right)^2+2\left(x-y+z\right)\left(y-z\right)+\left(y-z\right)^2\)

\(=\left(x-y+z+y-z\right)^2\)

\(=x^2\)

(x+1)²-(x-1)²-3(x+1)(x-1)

=[(x+1)-(x-1)][(x+1)+(x-1)]-3(x²-1)

=(x+1-x+1)(x+1+x-1)-3x²+3

=2.2x-3x²+3

=-3x²+4x+3

ta có:

(x+y+z)²=x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz

<=>(x+y+z)²=x²+y²+z²+2.(xy+xz+yz)

thay x+y+z=0 và xy+xz+yz=0 ta được:

0²=x²+y²+z²=2.0

<=>x²+y²+z²=0

mà x²;y²;z²\(\ge\)0 nên

=>x=y=z=0 thì x²+y²+z²=0

vậy với x+y++z=0 và xy+yz+zx=0 thì x=y=z

\(=\left(x^2+4x+4\right)+\left(y^2+4y+4\right)+\left(x^2-2xy+y^2\right)+2=\left(x+2\right)^2+\left(y+2\right)^2+\left(x-y\right)^2+2\ge2\)

=> Min =2 <=> x=y=-2

\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\frac{a+b+c}{abc}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\left(a+b+c=0\right)\)

=> điều phải cm

A=x^2-x+1 

=x²-2.x.1/2+1/4+3/4

=(x-1/2)²+3/4 > 0 với mọi x ( vì (x-1/2)²\(\ge\)0)

vậy A luôn dương với mọi x

A=x^2-x+1

 =x^2-2x1/2+1/4-1/4+1

 =(x-1/2)^2+3/4 >0 

Vậy : A luôn dương vs mọi x