tồn tại hay không số nguyên dương m,n,p thỏa mãn đồng thời các điều kiện (m+n,mn-1)=1, (m-n; mn+1)=1 và \(\text{(m+n)^2+(mn-1)^2=p^2}\)?.  (Trong đó (a,b) là ước chung lớn nhất của 2 số nguyên dương a và b)

cho các số thực dương x,y,z. Chứng minh rằng \(\frac{x^2y\left(y-z\right)}{x+y}+\frac{y^2z\left(z-x\right)}{y+z}+\frac{z^2x\left(x-y\right)}{z+x}\ge0\)

cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=ab+bc+ac. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{a^2}{a^2+3bc}+\frac{b^2}{b^2+3ac}+\frac{c^2}{c^2+3ab}+\sqrt{a+b+c}\)

cho hàm số y=f(x) liên tục trên [0;1]. Chứng minh phương trình f(x)+[f(1)-f(0)]x=f(1) có ít nhất 1 nghiệm thuộc [0;1]

Chứng minh rằng không thể chia các số từ 1 đến 15 thành 2 tập A và B sao cho số phần tử của A là 2 và số phần tử của B là 13 mà tổng các số ở B bằng tích các số ở A.

cho tứ diện ABCD có trọng tâm G. Tìm điểm M sao cho tổng: \(\frac{MA}{Gb.GC.GD}+\frac{MB}{GA.GC.GD}+\frac{MC}{GA.GB.GD}+\frac{MD}{GA.GB.GC}\) đạt giá trị bé nhất

cho hình bình hành ABCD. Từ B kẻ các đường thẳng BE vuông góc CD và BK vuông góc AD. Biết KE=3a, BD=5a. Tính khoảng cách từ B đến trực tâm tam giác BEK

cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=1\). Tìm giá trị nhỏ  nhất của biểu thức \(P=\dfrac{a^3}{2b+3c}+\dfrac{b^3}{2c+3a}+\dfrac{c^3}{2a+3b}\)