Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left(d\right)\)và \(\left(P\right)\)là: 

\(2x^2+x-3=mx\Leftrightarrow2x^2+x\left(1-m\right)-3=0\)(1) 

Để \(\left(d\right)\)cắt \(\left(P\right)\)tại hai điểm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. 

\(\Delta=\left(m-1\right)^2+24>0\)do đó (1) luôn có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\).

Theo Viete ta có: 

\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=\frac{m-1}{2}\\x_1x_2=-\frac{3}{2}\end{cases}}\)

\(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=\left(\frac{m-1}{2}\right)^2+\frac{3}{2}.2=4\)

\(\Leftrightarrow m^2-2m-3=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=-1\\m=3\end{cases}}\).

\(\left|3x-6\right|=2x+1\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x+1\ge0\\\orbr{\begin{cases}3x-6=2x+1\\3x-6=-2x-1\end{cases}}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge\frac{-1}{2}\\\orbr{\begin{cases}x=7\left(tm\right)\\x=1\left(tm\right)\end{cases}}\end{cases}}\)

Answer:

Ta có đề ra: x > 0

Áp dụng BĐT Cô-si

\(\frac{x}{2}+\frac{18}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{2}.\frac{18}{x}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{2}+\frac{18}{x}\ge2\sqrt{18}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{2}+\frac{18}{x}\ge2.3\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{2}+\frac{18}{x}\ge6\)

Dấu " = " xảy ra khi: \(\frac{x}{2}=\frac{18}{x}\Leftrightarrow x^2=36\Leftrightarrow x=6\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của y = 6 khi x = 6